[論文レビュー] Braid group actions on matrix factorizations

Sergey Arkhipov, Tina Kanstrup|arXiv (Cornell University)|Oct 26, 2015

Advanced Topics in Algebra参考文献 9被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、滑らかなG-多様体の余接 bundle とグロタンディーク多様体の積上のG-等配行列式因子化の導来カテゴリに、アフィンヘッケカテゴリのモノイダル作用を構成する。等配層の畳み込み構成とコシュール双対性を用いて、関連するカテゴリから行列式因子化へとブレッド群作用を上げることで、導来代数的幾何におけるポテンシャル付き層の導来カテゴリを通じて、拡張アフィンブレッド群の幾何的実現を確立する。

ABSTRACT

Let $X$ be a smooth scheme with an action of a reductive algebraic group $G$ over an algebraically closed field $k$ of characteristic zero. We construct an action of the extended affine Braid group on the $G$-equivariant absolute derived category of matrix factorizations on the Grothendieck variety times $T^*X$ with potential given by the Grothendieck-Springer resolution times the moment map composed with the natural pairing.

研究の動機と目的

• G-等配行列式因子化の導来カテゴリへの拡張アフィンブレッド群の幾何的作用を確立すること。
• ベズルクヴァニクニコフとリチェの、等配層に関する研究におけるブレッド群作用を、行列式因子化の設定へ一般化すること。
• 畳み込みとコシュール双対性を用いて、等配行列式因子化の文脈でアフィンブレッド群のカテゴリカル実現を提供すること。
• 導来プッシュプル形式を用いて、等配ヘッケカテゴリの枠組みを行列式因子化カテゴリへ拡張すること。
• 必要なブレッド群作用を誘導する、アフィンヘッケカテゴリの部分カテゴリから行列式因子化カテゴリへのモノイダル関手を構成すること。

提案手法

• 行列式因子化のポテンシャルの基盤として、グロタンディーク多様体 $\widetilde{\mathfrak{g}} = \operatorname{Lie}(B) \times^G G/B$ を用いる。
• リー代数との自然な双対性を介したモーメント写像の合成として、$T^*X \times \widetilde{\mathfrak{g}} \to \mathbb{A}^1$ なるポテンシャル $h$ を定義する。
• コシュール双対性を適用して、$D^b_{\mathrm{coh}}(\widetilde{\mathfrak{g}})$ から行列式因子化の導来カテゴリへのブレッド群作用を転送する。
• 導来プルバック、テンソル積、プッシュフォワードを用いて、$D_{\mathrm{abs}}(\mathrm{Coh}_G(Y \times X), w)$ 上の畳み込み積を構成する。
• $\widetilde{\mathfrak{g}} \times \widetilde{\mathfrak{g}} \times \mathfrak{g}^*$ 上の完全複体のカテゴリから行列式因子化カテゴリへのモノイダル関手 $\kappa$ を導入する。
• 関手 $\kappa$ によるブレッド群生成子の像が、拡張アフィンブレッド群の定義関係を満たし、ターゲットカテゴリを保存することを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 グロタンディーク多様体上の等配層への拡張アフィンブレッド群作用を、行列式因子化へ上昇させることは可能か？
• RQ2 アフィンヘッケカテゴリのモノイダル作用を、G-等配行列式因子化の導来カテゴリにどのように実現できるか？
• RQ3 コシュール双対性は、等配層から行列式因子化へのブレッド群作用の転送において、どのように機能するか？
• RQ4 非自明なポテンシャルを持つ行列式因子化へ、等配層上の畳み込み構造はどのように拡張できるか？
• RQ5 アフィンヘッケカテゴリのどの部分カテゴリが、行列式因子化カテゴリへのwell-definedな作用を与えるか？

主な発見

• 本稿は、$D^b_{\mathrm{Coh}}^G(\mathrm{St})$ であるアフィンヘッケカテゴリの自然なモノイダル作用を、$G$-等配行列式因子化の導来カテゴリ $D_{\mathrm{abs}}^G(T^*X \times \widetilde{\mathfrak{g}}, h)$ に構成する。
• この作用は、$\widetilde{\mathfrak{g}} \times \widetilde{\mathfrak{g}} \times \mathfrak{g}^*$ 上の完全複体のカテゴリから行列式因子化カテゴリへのモノイダル関手 $\kappa$ を通じて実現される。
• $\kappa$ によるブレッド群生成子の像は、拡張アフィンブレッド群の定義関係を満たす。
• 適切な補助条件のもとで、この作用は $D_{\mathrm{abs}}(\mathrm{Coh}_G(Y \times X), w)$ の全部分カテゴリを保存する。
• 関手 $\kappa$ はモノイダルであり、単位対象を単位に送るため、畳み込み構造と整合性を保つ。
• この構成は、コシュール双対性と導来プッシュプル形式に依拠し、等配層から行列式因子化への作用の上昇を実現する。