[논문 리뷰] Calabi-Yau Frobenius algebras

Ching-Hwa Eu, Travis Schedler|ArXiv.org|2007. 10. 18.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 31인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 임의의 가환 기저환 위에서 Calabi-Yau Frobenius 대수를 정의하고, Tate 코hom올로지의 Hochschild 동반 이론인 안정 Hochschild 코hom올로지 이론을 정의한다. 주기적인 Calabi-Yau Frobenius 대수에서는 안정 Hochschild 코hom올로지 위에 Batalin-Vilkovisky 및 Frobenius 대수의 구조가 존재하며, 이는 preprojective 대수와 군 대수의 Hochschild 코hom올로지 계산을 통합된 프레임워크로 제공한다. ADE 쿼버와 주기적 군의 경우 명시적인 딜로지와 BV 구조를 포함한다.

ABSTRACT

We define Calabi-Yau and periodic Frobenius algebras over arbitrary base commutative rings. We define a Hochschild analogue of Tate cohomology, and show that the "stable Hochschild cohomology" of periodic CY Frobenius algebras has a Batalin-Vilkovisky and Frobenius algebra structure. Such algebras include (centrally extended) preprojective algebras of (generalized) Dynkin quivers, and group algebras of classical periodic groups. We use this theory to compute (for the first time) the Hochschild cohomology of many algebras related to quivers, and to simplify the description of known results. Furthermore, we compute the maps on cohomology from extended Dynkin preprojective algebras to the Dynkin ones, which relates our CY property (for Frobenius algebras) to that of Ginzburg (for algebras of finite Hochschild dimension).

연구 동기 및 목표

• 임의의 가환 기저환 위에서 Calabi-Yau Frobenius 대수를 정의함으로써, 체를 초월한 CY 성질의 일반화를 시도한다.
• Tate 코호몰로지의 Hochschild 동반 이론인 안정 Hochschild 코호몰로지 이론을 도입하여 모든 정수 차수로 코호몰로지를 확장한다.
• 주기적인 Calabi-Yau Frobenius 대수에서는 그 안정 Hochschild 코호몰로지 위에 Batalin-Vilkovisky 및 Frobenius 대수의 구조가 존재함을 확립한다.
• ADE 쿼버의 preprojective 대수와 임의의 기저환 위에서 중심 확장된 preprojective 대수의 Hochschild 코호몰로지를 계산한다.
• 확장된 및 딜린킨 preprojective 대수 사이의 사상들을 통해 Frobenius 대수의 CY 성질을 Ginzburg의 유한 Hochschild 차원 대수에 대한 CY 성질과 연결한다.

제안 방법

• 안정 $A$-쌍모듈러 범주에서 $\underline{HH}^\bullet(A) = \underline{\operatorname{Hom}}(\Omega^\bullet A, A)$ 로 정의된 안정 Hochschild 코호몰로지를 정의한다.
• 안정 모듈러 범주와 상대적 세르 쌍대성을 사용하여 $CY(m)$-Frobenius 대수에 대해 $\underline{HH}_\bullet(A) \cong \underline{HH}^{m-\bullet}(A)$ 인 쌍대성 동형을 정의한다.
• 안정 Hochschild 코호몰로지가 그레이드-반대칭환임을 증명하고, 수축 작용을 통해 안정 Hochschild 호모로지가 그 위의 그레이드 모듈러임을 보인다.
• 주기적 Frobenius 대수의 경우, $(HH^\bullet, HH_\bullet)$ 위의 계산 구조가 $\mathbb{Z}$-그레이드 안정 설정으로 확장됨을 증명한다.
• 안정 범주에서 $A^\vee \simeq \Omega^{m+1}A$ 인 동형을 사용하여 CY 성질을 정의하고, 쌍대성 및 BV 구조를 유도한다.
• 이론을 적용하여 ADE 쿼버의 preprojective 대수와 주기적 군 대수의 $\underline{HH}^\bullet$ 를 계산하며, $m=2$ 인 ADE 경우에 대해 $\underline{HH}^\bullet \cong \underline{HH}^{2m+1-\bullet*}$ 를 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Frobenius 대수의 맥락에서, 체를 초월해 임의의 가환 기저환으로 Calabi-Yau 성질을 어떻게 일반화할 수 있는가?
• RQ2 기저환 $\mathbb{Z}$ 또는 일반 기저환 위에서 ADE 쿼버의 preprojective 대수의 Hochschild 코호몰로지의 구조는 어떠한가?
• RQ3 주기적 Frobenius 대수의 안정 Hochschild 코호몰로지가 Batalin-Vilkovisky 및 Frobenius 대수의 구조와 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ4 안정 모듈러 범주가 Hochschild 코호몰로지의 Tate 코호몰로지 동반 이론을 정의하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 확장된 딜린킨과 딜린킨 preprojective 대수 사이의 사상은 Frobenius 대수의 CY 성질을 Ginzburg의 CY 성질과 어떻게 연결하는가?

주요 결과

• 주기적인 Calabi-Yau Frobenius 대수 $A$ 에 대해 안정 Hochschild 코호몰로지 $\underline{HH}^\bullet(A)$ 는 그레이드-반대칭환이며, Frobenius 대수의 구조를 가진다.
• 만약 $A$ 가 $CY(m)$-Frobenius 대수이면 $\underline{HH}_\bullet(A) \cong \underline{HH}^{m-\bullet}(A)$ 이고, $\underline{HH}^0(A)$-모듈러로서 $\underline{HH}_\bullet(A) \cong \underline{HH}^{2m+1-\bullet*}(A)$ 이다.
• ADE 쿼버의 중심 확장된 preprojective 대수의 안정 Hochschild 코호몰로지는 $m=2$ 인 경우 Batalin-Vilkovisky 및 Frobenius 대수의 구조를 가진다.
• 이 이론은 $\mathbb{Z}$ 및 임의의 기저환 위에서 preprojective 대수의 첫 번째로 알려진 Hochschild 코호몰로지를 계산한다.
• 확장된 딜린킨에서 딜린킨 preprojective 대수로의 사상은 코호몰로지 위에 사상으로 유도되며, Frobenius 대수의 CY 성질과 Ginzburg의 CY 성질을 연결한다.
• 유한군의 주기적 군 대수의 안정 Hochschild 코호몰로지는 BV 구조를 지니며, 이는 기존의 체 위에서의 결과를 임의의 기저환으로 일반화한다.