[論文レビュー] Canonical measures and the dynamical systems of Bergman kernels

Hajime Tsuji|arXiv (Cornell University)|May 13, 2008

Geometry and complex manifolds参考文献 23被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、Bergmanカーネルの力学系を用いて、非負のKodaira次元をもつ滑らかで射影的な多様体上に正規化された半正定カレントと測度を構成し、Kähler-Ricciフローの離散的アナロジーを提供する。この構成により、Kähler-Einstein計量を一般化する正規化された測度が得られ、Iitakaファイブレーションの基底上でのねじれ Monge-Ampère 方程式を満たす。さらに、ファミリーにおける多重シュレーディンガー的変動の応用およびKähler-Ricciフローに内在する特異性の克服にも寄与する。

ABSTRACT

In this article, we construct the canonical semipositive current or the canonical measure ($=$ the potential of the canonical semipositive current) on a smooth projective variety of nonnegative Kodaira dimension in terms of a dynamical system of Bergman kernels. This current is considered to be a generalization of a Kähler-Einstein metric and coincides the one constructed independently by J. Song and G. Tian. The major difference between their work and the present article is that they found the canonical measure in terms of Käher-Ricci flows, while I found the canonical measure in terms of the dynamical system of Bergman kernels. Hence the present approach can be viewed as the discrete version of the Kähler-Ricci flow.

研究の動機と目的

• 非負のKodaira次元をもつ滑らかで射影的な多様体上に、Kähler-Einstein計量の一般化として正規化された半正定カレントと測度を構成すること。
• 連続的フロー法に内在する特異性を回避するため、Kähler-Ricciフローの離散的力学的システムのアプローチを提供すること。
• 射影的ファミリーにおける正規化された測度の対数多重シュレーディンガー的変動を確立し、半正定直接像に関する結果を拡張すること。
• Kähler-Ricciフローにおける特異的解に起因する困難を、Bergmanカーネルを用いた安定的かつ内因的な構成によって克服すること。
• 代数幾何学における正規化計量の概念を統一的かつ一般化すること、特に一般型でない多様体に対して有効であることを示すこと。

提案手法

• Iitakaファイブレーションの基底上における付随ラインバンドル上でのBergmanカーネルの力学的システムを用いる。
• 正規化されたBergmanカーネル計量の極限の上半連続包を用いて正規化された測度を定義する。
• 特異なヘルミートラインバンドルに半正定曲率をもつ場合のBergmanカーネルの対数多重シュレーディンガー的性質に依存する。
• 重要なステップとして、相対的正則バンドル上のHodge計量 $ h_{L_{X/Y}} $ を滑らかにし、計量構造を基底空間へ拡張する。
• 正規化されたカレントは、極限計量の $ - ext{Ric} $ として定義され、これはカレントの意味で半正定であることが示される。
• 双有理不変性を用いて滑らかなモデルに還元し、正規化された測度がファイバーに正しく制限されることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非負のKodaira次元をもつ多様体に対して、Kähler-Ricciフローの特異性を回避する離散的力学的システムを用いて正規化された測度を構成できるか？
• RQ2 正規化された測度の力学的構成は、射影的多様体ファミリーにおける対数多重シュレーディンガー的変動をもたらすか？
• RQ3 正規化されたカレントはIitakaファイブレーションとどのように関係し、基底空間上での曲率挙動はいかなるものか？
• RQ4 正規化された測度はIitaka基底上でのねじれ Monge-Ampère 方程式の解として特徴づけられるか？補正項の役割は何か？
• RQ5 正規化されたカレントは一意的であり、双有理変換に対して不変か？

主な発見

• 正規化された測度は、正規化されたBergmanカーネルの極限として構成され、Iitaka基底 $ Y $ 上での $ L_{X/Y} $-値相対体積形式として非自明なものを得る。
• 基底上での極限計量 $ h_m $ は、$ K_{Y/S} + L_{X/Y} $ 上で半正定曲率カレントをもち、正規化されたカレントが適切に定義され、半正定であることを保証する。
• 正規化されたカレント $ ilde{ ho} $ は、基底 $ Y $ 上でねじれ Monge-Ampère 方程式を満たし、Hodge変動に起因する補正項を含むKähler-Einstein方程式を一般化する。
• 正規化された測度は、$ f_* ilde{ ho} $ の半正定性により、ファミリーにおける対数多重シュレーディンガー的変動を示す。これはKawamataの半正定性定理を拡張する。
• 構成は双有理不変であり、測度ゼロ集合を除くファイバーに正しく制限され、$ ilde{ ho}|_{X_s} $ は $ X_s $ 上の正規化されたカレントである。
• 離散的で安定的な力学的システムを用いることで、Kähler-Ricciフローにおける特異性を克服し、連続的フロー法に対する強固な代替手法を提供する。