[論文レビュー] Capacity achieving multiwrite WOM codes

Amir Shpilka|arXiv (Cornell University)|Sep 5, 2012

Coding theory and cryptography参考文献 13被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、容量に達する最初の明示的で決定的である二値t回書き込み可能記憶（WOM）符号の構成を提示する。符号化・復号は多項式時間で実行可能である。容量との差ε > 0を任意にとる場合、ブロック長は(t/ε)^{O(t/(δε))}であり、符号化・復号はN^{1+δ}時間で実行され、レートはlog(t+1)−εに達する。

ABSTRACT

In this paper we give an explicit construction of a capacity achieving family of binary t-write WOM codes for any number of writes t, that have a polynomial time encoding and decoding algorithms. The block length of our construction is N=(t/ε)^{O(t/(δε))} when εis the gap to capacity and encoding and decoding run in time N^{1+δ}. This is the first deterministic construction achieving these parameters. Our techniques also apply to larger alphabets.

研究の動機と目的

• 理論的容量log(t+1)ビット/書き込みに達する明示的で決定的なt回書き込み可能WOM符号を構築すること。
• 構築された符号に対して多項式時間の符号化・復号アルゴリズムを保証すること。
• 容量とのギャップεを小さく保ちつつ、ブロック長を最小限に抑えること。
• 二値を超える大きなアルファベットへの拡張を可能にすること。
• 短いブロック長と効率的なアルゴリズムで容量に達するという未解決の問題に取り組むこと。

提案手法

• スパース解を持つ線形方程式系の解法として符号化プロセスをモデル化するため、構造的行列とユニバーサルハッシュ族を用いる。
• 指数的におそろしい誤差を持つ抽出器ベースの構成を用い、各書き込み段階における必要なソース分布をシミュレートする。
• ソースY_i(w)を、以前にj1とラベル付けされた座標のうちj2とラベル付けされたものの割合が遷移行列S_iと一致するコードワードの集合として定義する。
• 容量領域をパrameterizeするための重みベクトル(p1,…,pt−1)を用い、レート制約を満たす。
• 各書き込みステップで、以前に0であったビットのみを1に変更する再帰的符号化戦略を適用し、単調性を保つ。
• ソースの構造的性質と解のスパarsityを活用して、符号化・復号関数を効率的に逆転可能に設計する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 理論的容量log(t+1)に漸近的に近づく決定的かつ多項式時間のt回書き込み可能WOM符号の構成が可能か？
• RQ2 多項式時間符号化・復号を満たす容量とのギャップεを達成するための最小ブロック長は何か？
• RQ3 ブロック長をpoly(1/ε)に短縮できるか？ ただし、容量達成レートと効率的なアルゴリズムを維持するものとする。
• RQ4 WOM符号構成のための高制約線形系において、構造的抽出器を効率的に逆転できるか、またはスパース解を効率的に見つけられるか？
• RQ5 ユニバーサルハッシュ族と抽出器の使用を最適化することで、ブロック長を短縮しつつ、レートや計算効率を損なわないようにできるか？

主な発見

• 本稿では、任意のε>0に対してレートlog(t+1)−εを達成するt回書き込み可能な二値WOM符号の族を構築した。これはモデルの理論的容量と一致する。
• ブロック長は、任意のδ>0に対してN=(t/ε)^{O(t/(δε))}で抑えられ、符号化・復号はN^{1+δ}時間で多項式時間内に実行可能である。
• 符号化・復号アルゴリズムは明示的に構築されており、多項式時間で実行可能であり、これらパラメータを備えた最初の決定的構成である。
• 本手法は、二値符号を超える大きなアルファベットに対しても適用可能であり、拡張が可能である。
• 構造的線形系のスパース解の特定に依存しており、今後の改善の鍵となる課題として同定されている。
• 著者らは、ハミング球やアフィン部分空間などの高構造的ソースに特化した、シードレスで効率的に逆転可能な抽出器の改善から、より優れた構成が得られる可能性を示唆している。