[论文解读] Center of circle after perspective transformation

Xi Wang, Albert Chern+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 12, 2019

Gaze Tracking and Assistive Technology参考文献 1被引用 5

一句话总结

本文提出了一种直接且鲁棒的方法，通过利用圆锥曲线线束的射影不变性，从一对同心椭圆（如眼球追踪中的虹膜和瞳孔）中计算透视投影后圆的真实中心。该方法在合成测试中实现了亚像素精度（误差低于1像素），显著优于标准椭圆拟合中心估计方法。

ABSTRACT

Video-based glint-free eye tracking commonly estimates gaze direction based on the pupil center. The boundary of the pupil is fitted with an ellipse and the euclidean center of the ellipse in the image is taken as the center of the pupil. However, the center of the pupil is generally not mapped to the center of the ellipse by the projective camera transformation. This error resulting from using a point that is not the true center of the pupil directly affects eye tracking accuracy. We investigate the underlying geometric problem of determining the center of a circular object based on its projective image. The main idea is to exploit two concentric circles -- in the application scenario these are the pupil and the iris. We show that it is possible to computed the center and the ratio of the radii from the mapped concentric circles with a direct method that is fast and robust in practice. We evaluate our method on synthetically generated data and find that it improves systematically over using the center of the fitted ellipse. Apart from applications of eye tracking we estimate that our approach will be useful in other tracking applications.

研究动机与目标

• 解决基于视频的眼球追踪中的根本性误差问题：由于射影失真，椭圆瞳孔拟合的欧氏中心并不对应于真实的3D瞳孔中心。
• 开发一种计算高效且鲁棒的算法，仅利用两个同心圆的边界椭圆，从其透视投影图像中恢复圆形物体的真实中心。
• 证明在射影变换下，原始同心圆的中心与半径比可由其投影椭圆唯一确定。
• 在合成数据上评估该方法，量化其在中心估计精度方面相较于传统椭圆拟合方法的改进程度。

提出的方法

• 将投影后的瞳孔和虹膜建模为图像平面上的两个椭圆，代表两个同心圆的透视投影。
• 利用几何性质：原始圆的真实中心在射影变换下保持不变，且对应于由两个椭圆定义的圆锥线束中的特定圆锥线。
• 将问题表述为由圆锥线束导出的特征值问题，求解唯一代表真实中心（退化圆）的圆锥线。
• 直接从特征问题的解中提取中心和半径比，实现快速且稳定的计算。
• 利用半径比（虹膜与瞳孔）作为一致性检验，并增强对椭圆检测噪声的鲁棒性。
• 在不同相机位置、瞳孔大小和视角下，对合成眼图像应用该方法以评估性能。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以在不依赖迭代优化或相机模型先验知识的情况下，从透视投影的椭圆中恢复圆形物体的真实中心？
• RQ2 在射影变换下，两个同心圆的图像是否唯一确定原始圆的中心？
• RQ3 在不同射影失真条件下，该方法与标准椭圆拟合中心估计方法相比，精度如何？
• RQ4 该方法在合成眼球追踪场景中，能否在不同瞳孔大小和相机视角下保持鲁棒性？
• RQ5 通过结合虹膜中心估计，该方法在现实眼球追踪中可多大程度上扩展以处理折射失真？

主要发现

• 通过两个同心圆的透视投影，原始圆的真实中心可被唯一恢复，因为该中心对应于由两个椭圆定义的圆锥线束中的退化圆锥线。
• 该方法实现了亚像素精度，在所有测试相机位置和瞳孔大小下，合成实验中的估计误差始终低于1像素。
• 与拟合瞳孔椭圆的欧氏中心相比，该方法显著降低了估计误差，尤其在高射影失真下表现更优。
• 即使在瞳孔因倾斜视角而显得细小或高度椭圆时，该方法仍保持鲁棒，而传统椭圆拟合方法常在此类情况下失效或性能下降。
• 原始同心圆的半径比（瞳孔与虹膜）也可可靠估计，提供内部一致性检验，并具备用于折射建模的潜力。
• 该方法计算高效，依赖直接求解特征问题而非迭代优化，适用于实时应用。