[論文レビュー] Characteristic numbers of crepant resolutions of Weierstrass models

Mboyo Esole, Monica Jinwoo Kang|arXiv (Cornell University)|Jul 23, 2018

Advanced Algebra and Geometry参考文献 38被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、F理論の compactification における Weierstrass モデルのクレパント解消について、チャーン数やポントリャーギン数、$\hat{A}$- genus、トッド genus、$L$- genus、曲率不変量 $X_8$ などの特性数を計算する。これらの不変量が $K$-同値性の不変量であることを証明し、解消の選び方に依存しないことを示し、$G = \mathrm{SU}(n)$, $\mathrm{USp}(4)$, \mathrm{Spin}(7)$, $\mathrm{Spin}(8)$, $\mathrm{Spin}(10)$, $G_2$, $F_4$, $E_6$, $E_7$, $E_8$ のゲージ群をもつ $G$-モデルについて、ブローモー技術と特異点の補正項を用いて明示的な公式を導出する。

ABSTRACT

We compute characteristic numbers of crepant resolutions of Weierstrass models corresponding to elliptically fibered fourfolds $Y$ dual in F-theory to a gauge theory with gauge group $G$. In contrast to the case of fivefolds, Chern and Pontryagin numbers of fourfolds are invariant under crepant birational maps. It follows that Chern and Pontryagin numbers are independent on a choice of a crepant resolution. We present the results for the Euler characteristic, the holomorphic genera, the Todd-genus, the $L$-genus, the $\hat{A}$-genus, and the curvature invariant $X_8$ that appears in M-theory. We also show that certain characteristic classes are independent on the choice of the Kodaria fiber characterizing the group $G$. That is the case of $\int_Y c_1^2 c_2$, the arithmetic genus, and the $\hat{A}$-genus. Thus, it is enough to know $\int_Y c_2^2$ and the Euler characteristic $χ(Y)$ to determine all the Chern numbers of an elliptically fibered fourfold. We consider the cases of $G=$ SU($n$) for ($n=2,3,4,5,6,7$), USp($4$), Spin($7$), Spin($8$), Spin($10$), G$_2$, F$_4$, E$_6$, E$_7$, or E$_8$.

研究の動機と目的

• F理論における Weierstrass モデルのクレパント解消について、チャーン数やポントリャーギン数、$\hat{A}$- genus、トッド genus、$L$- genus、曲率不変量 $X_8$ などの特性数を計算すること。
• これらの特性数が $K$-同値性の不変量であることを確立し、高次元では一般に成立しないにもかかわらず、解消の選び方に依存しないことを示すこと。
• これらの不変量をベースの幾何学と基本ラインバンドル $\mathscr{L}$ の言語で明示的な公式として導出すること。特異点は除集合 $S$ に支持される補正項を含むこと。
• 先行文献における曖昧さを解消し、$c_2(TY)$ および $p_1(TY)$ のプッシュフォワード公式の妥当性を証明し、$\varphi_*c(Y)$ および $\varphi_*\mathrm{Td}(Y)$ の以前の導出における誤りを是正すること。
• 特定の不変量——例えば $\int_Y c_1^2 c_2$、$\hat{A}$- genus、トッド genus——が、カイドゥラ・ファイバー型に依存せず、ベースと $\mathscr{L}$ のみに依存することを示し、必要な入力の数を削減すること。

提案手法

• 本稿は代数幾何におけるプッシュフォワード技法を用い、特に楕円曲線ファイブレーションのクレパント解消がチャーン類およびポントリャーギン類に与える影響を計算する。
• グロタンディークのチャーン類の公理的枠組みをチャウ環に適用し、射影バンドルの公式を用いて、楕円ファイブレーション下での $c_2(TY)$ および $p_1(TY)$ のプッシュフォワードを計算する。
• 特異点を考慮するため、ブローモー列によるチャーン類の補正を実施し、カイドゥラ・ファイバーが支持される除集合 $S$ に局在化された明示的寄与を導出する。
• 楕円ファイブレーションの下で、$\int_Y p_1(TY) \cdot \varphi^*\beta = \int_B (c_1 - L)^2 \beta - 24 \int_B L \cdot \beta$ という第一ポントリャーギン類のプッシュフォワードを、$G$-モデルに対して導出する。
• [44] における誤りを特定し、特に総チャーン類およびTodd類のプッシュフォワードにおける誤りを特定し、$\varphi_*\mathrm{Td}(Y) = (1 - e^{-L})\mathrm{Td}(B)$ の完全な証明を提供する。
• すべての $G$-モデルについて $X_8(Y)$ を明示的に計算し、重複するケースで [44] と一致することを確認する。一方、$\int_Y c_2^2$ および $\int_Y p_1^2$ は他の不変量とは異なり、ファイバー型に依存することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 四次元多様体のチャーン数およびポントリャーギン数は、一般に高次元では成立しないにもかかわらず、クレパント双有理写像の下で不変であるか？
• RQ2 $G$-モデルの特性数が、カイドゥラ・ファイバー型や使用された特定の解消の選び方にどれほど依存するか？
• RQ3 $c_2(TY)$ および $p_1(TY)$ のプッシュフォワードは、ゲージ群 $G$ に依存せず、$G$-モデル全体に普遍的に計算可能か？
• RQ4 特異点（除集合 $S$ に支持）が $\int_Y c_1^2 c_2$ や $\int_Y c_2^2$ のような特性数に与える正確な寄与は何か？
• RQ5 文献における矛盾する公式——特に $\varphi_*c(Y)$ および $\varphi_*\mathrm{Td}(Y)$ に関して——は、どのようにして調和されるか？

主な発見

• 四次元多様体のチャーン数およびポントリャーギン数は $K$-同値性の不変量であり、クレパント解消の選び方に依存しない。これは一般に高次元多様体では成り立たない。
• $\int_Y c_1^2 c_2$、$\hat{A}$- genus、トッド genus はカイドゥラ・ファイバー型に依存せず、ベースと基本ラインバンドル $\mathscr{L}$ のみに依存する。特異ファイバー構造には依存しない。
• 曲率不変量 $X_8(Y)$ はすべての $G$-モデルについて明示的に計算され、重複するケースで [44] と一致し、一貫性を確認した。
• 第一ポントリャーギン類のプッシュフォワードは $\int_Y p_1(TY) \cdot \varphi^*\beta = \int_B (c_1 - L)^2 \beta - 24 \int_B L \cdot \beta$ で与えられ、ファイバー型に依存せず、すべての $G$-モデルに適用可能である。
• $\varphi_*c(Y) = \frac{12L}{1+L}c(B)$ は滑らかな Weierstrass モデルでは成り立つが、特異点が存在する $G$-モデルでは成立せず、[44] が普遍的に拡張可能であるという仮定を無効にする。
• 一般にオイラー特性数 $\chi(Y)$ は 12 の倍数ではない。これは誤った公式 $\chi(Y) = 12 \int_B L(1+\cdots)c(B)$ が示唆するものと矛盾する。SU(2)-モデルについて反例を提示する。