[论文解读] Chern class and Riemann-Roch theorem for cohomology theory without homotopy invariance

Masanori Asakura, Kanetomo Sato|arXiv (Cornell University)|Jan 24, 2013

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 45被引用 6

一句话总结

本文提出了一套用于高阶陈类的框架，并在不假设上同调理论具有同伦不变性或纯性的情况下，建立了无分母的黎曼-罗赫定理。通过基于第一陈类、射影丛公式以及严格闭浸入的上推导的公理体系，该研究在满足此类条件的广义上同调理论中，为高阶K-群建立了无分母的黎曼-罗赫定理。

ABSTRACT

In this paper, we formulate axioms of certain graded cohomology theory for which Chern class maps from higher K-theory are defined, following the method of Gillet [Gi1]. We will not include homotopy invariance nor purity in our axioms. It will turn out that the Grothendieck-Riemann-Roch theorem and the Riemann-Roch theorem without denominators hold for our higher Chern classes. We will also give two applications of our Riemann-Roch results.

研究动机与目标

• 制定一种不依赖同伦不变性或纯性的上同调理论框架，扩展吉勒特的公理化方法。
• 在这样的广义上同调理论中，为代数K-理论定义高阶陈类与特征类。
• 在更广泛的背景下，建立该理论中无分母的黎曼-罗赫定理。
• 在代数几何中，特别是针对高阶K-理论，提供黎曼-罗赫结果的应用。
• 验证单纯概形中射影丛公式与上推导结构之间的相容性。

提出的方法

• 通过三个核心公理定义可接受的上同调理论：从 Gm[-1] 到 Γ(1) 的第一陈类映射，射影丛公式，以及严格闭浸入的上推导。
• 使用吉勒特的方法构造高阶陈类，将其适配于不具有同伦不变性的上同调理论。
• 在导出范畴中利用上推导态射 f!: f*Γ(i)Y → Γ(i+r)X[2r]，以确保其传递性并保持与陈类的相容性。
• 通过关键恒等式 f!(1) = cr(Q) 在 H^{2r}(X, Γ(r)) 中成立，证明射影丛公式与上推导之间的相容性，其中 f: Y → X = P(E ⊕ 1) 是向量丛的射影化零截面。
• 将该框架应用于证明高阶K-群的无分母黎曼-罗赫定理。
• 利用导出范畴技术与无界复形中的同伦理论，确保导出范畴中同伦关系的一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在缺乏同伦不变性的上同调理论中，形式化高阶陈类与黎曼-罗赫定理？
• RQ2 如何定义严格闭浸入的上推导结构，并使其与射影丛公式相容？
• RQ3 在缺乏纯性与同伦不变性的情况下，无分母黎曼-罗赫定理成立的条件是什么？
• RQ4 如何形式化证明射影丛公式与陈类构造之间的相容性？
• RQ5 该框架对广义上同调理论中的高阶代数K-理论与查沃群有何影响？

主要发现

• 在不满足同伦不变性或纯性的可接受上同调理论中，高阶陈类的无分母黎曼-罗赫定理成立。
• 在 H^{2r}(X, Γ(r)) 中，恒等式 f!(1) = cr(Q) 成立，其中 f: Y → X = P(E ⊕ 1) 为向量丛的射影化零截面，从而确立了射影丛与上推导公理之间的相容性。
• 通过吉勒特方法构造高阶陈类的方案可推广至不具有同伦不变性的上同调理论，前提是满足三个核心公理。
• 导出范畴 D((X•)Zar) 支持一个一致的上推导与同伦关系框架，确保了理论的一致性。
• 该框架在第11–13节中提供了两个应用，展示了其在高阶K-理论与代数循环中的实用性。
• 第一陈类与上推导及射影丛之间的相容性已正式验证，从而支持了单纯概形上向量丛的惠特尼和公式。