[論文レビュー] Chern-Weil calculus extended to a class of infinite dimensional manifolds

Sylvie Paycha|ArXiv.org|Jun 18, 2007

Advanced Operator Algebra Research参考文献 32被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、零位古典的擬微分作用素の代数に倣ったFréchet代数を台とする無限次元多様体へ、古典的Chern-Weil形式を拡張する。正則化されたトレース（滑らか作用素上の標準トレースの線形拡張）を用いることで、非可換リーマン積分によって閉形式でないことが測られる重み付きChern-Weil形式を構成し、擬微分Grassmann多様体やループ群といった幾何的設定におけるカウンターテルムを用いた正則化を可能にする。

ABSTRACT

We discuss possible extensions of the classical Chern-Weil formalism to an infinite dimensional setup. This is based on joint work with Steven Rosenberg, joint work with Simon Scott and joint work with Jouko Mickelsson.

研究の動機と目的

• 無限次元リー群、特に可逆な零位古典的擬微分作用素の群への古典的Chern-Weil準同型の一般化を図ること。
• 無限次元リー代数における適切なトレースの欠如に応じ、滑らか作用素上で標準トレースと一致するが、一般には交換子に対してトレース的でない正則化トレースを導入すること。
• 非可換リーマン積分を用いて、無限次元におけるChern-Weil形式が閉形式でないという不備を測ること。
• 擬微分Grassmann多様体やループ群といった幾何的設定において、リーマン積分に基づくカウンターテルムを加えることで、非閉形式を正則化し閉形式にすること。
• スーパーカレント形式を用いて、重み付きChern-Weil形式と一様族のDirac作用素のチャーン類の間の関係を確立すること。

提案手法

• 偶数次元のスピン多様体上の一様族のDirac作用素に作用するBismutスーパーカレントを用いて、曲率および重み付きChern形式を定義する。
• Getzlerのスケーリングをスーパーカレントに適用し、熱核の漸近展開を解析し、局所不変量を抽出する。
• 滑らか作用素上で標準トレースと一致するが、一般には交換子に対してトレース的でない零位古典的擬微分作用素の代数への正則化トレースを導入する。
• 非可換リーマン積分を用いて、重み付きChern-Weil形式と閉形式との乖離を測定し、閉形式でない障害を捉える。
• 非可換リーマン積分を用いたカウンターテルムを構成し、特に擬微分Grassmann多様体の文脈で非閉形式を閉形式に正則化する。
• 重み付きChern-Weil形式と熱核のスーパートレースの$\frac{n}{2}$次成分との間の明確な公式を確立し、$\tfrac{1}{(2i\tilde\tau)^{n/2}}$重み付きの$\tfrac{n}{2}$次項の漸近展開と関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可逆な零位古典的擬微分作用素の群のような無限次元リー群へ、古典的Chern-Weil形式をどのように拡張できるか。
• RQ2 標準トレースが存在しない零位擬微分作用素のリー代数において、トレースに代わるものは何か。
• RQ3 曲率形式が標準トレースのもとで閉形式でない無限次元設定において、特徴的類をどのように定義し計算できるか。
• RQ4 擬微分Grassmann多様体やループ群といった幾何的文脈において、非閉の重み付きChern-Weil形式をどのように正則化し、閉形式にできるか。
• RQ5 スーパーカレント形式を用いて構成された重み付きChern-Weil形式と、一様族のDirac作用素のチャーン類との間の明確な関係は何か。

主な発見

• Bismutスーパーカレントに関連する$j$-番目のチャーン形式は、$\mathrm{str}^{{\rm I\!A}^{2}}({\rm I\!A}^{2j})_{[2j]} = \frac{(-1)^j j!}{(2i\pi)^{n/2}} \left( \int_{{\rm I\!M}/X} \hat{A}({\rm I\!M}/X) \wedge {\rm ch}({\rm I\!\!E}_{{\rm I\!M}/X}) \right)_{[2j]}$として与えられ、これにより一様族のチャーン類と関連づけられる。
• 熱核$e^{-t{\rm I\!A}^2}$のスーパートレースの漸近展開は、$\delta_t$-スケーリングされたスーパーカレントを含む公式を導き、局所不変量の抽出を可能にする。
• 非可換リーマン積分は、重み付きChern-Weil形式が閉形式でない障害を捉え、カウンターテルムの構成を通じてそれらを閉形式に正則化する手助けをする。
• ループ群や擬微分Grassmann多様体の状況では、非可換リーマン積分の局所性のおかげで、閉形式性を回復するカウンターテルムの構成が可能になる。
• 熱核展開の$j$-番目の項$k_j({\rm I\!A}^2)$のスーパートレースは、チャーン形式の$2j$次成分と関係しており、$\left( \int_{{\rm I\!M}/X} {\rm str}(k_{j+n/2}({\rm I\!A}^2)) \right)_{[2j]} = \frac{(4\pi)^{n/2}}{(2i\pi)^{n/2}} \left( \int_{{\rm I\!M}/X} \hat{A} \wedge {\rm ch} \right)_{[2j]}$という関係式で表される。
• 正則化されたChern-Weil形式は、単純な重み付き形式に非可換リーマン積分に基づく補正項を加えることで得られ、これは閉形式であり、適切に定義されたコホモロジー類を表す。