[論文レビュー] Climbing the Diagonal Clifford Hierarchy

Jingzhen Hu, Qingzhong Liang+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 22, 2021

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 32被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、3つの操作である連結、Z-安定化子の削除、X-安定化子の追加を用いて、より高いクリフォード階層の論理的対角ゲートを実現するCSS量子符号を合成する手法を提示する。主な貢献は、これらの操作が符号を保存し、目的の論理的ゲートを誘導するための必要十分条件を導出したことであり、符号の距離が増加する量子リード・マラー符号族の構築によって実証されている。

ABSTRACT

Magic state distillation and the Shor factoring algorithm make essential use of logical diagonal gates. We introduce a method of synthesizing CSS codes that realize a target logical diagonal gate at some level $l$ in the Clifford hierarchy. The method combines three basic operations: concatenation, removal of $Z$-stabilizers, and addition of $X$-stabilizers. It explicitly tracks the logical gate induced by a diagonal physical gate that preserves a CSS code. The first step is concatenation, where the input is a CSS code and a physical diagonal gate at level $l$ inducing a logical diagonal gate at the same level. The output is a new code for which a physical diagonal gate at level $l+1$ induces the original logical gate. The next step is judicious removal of $Z$-stabilizers to increase the level of the induced logical operator. We identify three ways of climbing the logical Clifford hierarchy from level $l$ to level $l+1$, each built on a recursive relation on the Pauli coefficients of the induced logical operators. Removal of $Z$-stabilizers may reduce distance, and the purpose of the third basic operation, addition of $X$-stabilizers, is to compensate for such losses. For the coherent noise model, we describe how to switch between computation and storage of intermediate results in a decoherence-free subspace by simply applying Pauli $X$ matrices. The approach to logical gate synthesis taken in prior work focuses on the code states, and results in sufficient conditions for a CSS code to be fixed by a transversal $Z$-rotation. In contrast, we derive necessary and sufficient conditions by analyzing the action of a transversal diagonal gate on the stabilizer group that determines the code. The power of our approach is demonstrated by two proofs of concept: the $[[2^{l+1}-2,2,2]]$ triorthogonal code family, and the $[[2^m,\binom{m}{r},2^{\min\{r,m-r\}}]]$ quantum Reed-Muller code family.

研究の動機と目的

• クリフォード階層の高次レベルにおける論理的対角ゲートを実現するCSS符号を一般に構築するための手法を開発すること。
• 先行研究が転送的Z回転の十分条件にのみ焦点を当てていたのを補完し、安定化子群の作用に基づいて必要十分条件を導出すること。
• 符号距離とレートを維持または向上させながら論理的ゲートのレベルを体系的かつ段階的に向上させることで、フェイルセーフな量子計算を可能にすること。
• 符号の距離が増加し、論理的ゲートのレベルが上昇するコード族の明示的構成を通じて、本手法の有効性を示すこと。

提案手法

• 本手法は3つのコア操作を用いる：連結により物理的ゲートのレベルを向上させ、Z-安定化子の削除により論理的ゲートのレベルを上昇させ、X-安定化子の追加により符号距離を回復または向上させる。
• パウリ展開における生成子係数を追跡することで、各操作の許容性を保証する再帰的関係を用いる。
• Z-安定化子の削除およびX-安定化子の追加の許容性は、Z-安定化子の符号および符号の双対構造に関する条件によって決定され、それぞれ式 (46) と (79) で表現される。
• 連結は常に許容可能であるが、削除および追加の操作は、生成子係数が特定の符号および係数制約を満たしているかを確認する必要がある。
• 符号変換の誘導される論理的チャネルを明示的にモデル化し、符号測定と補正を含む状態の進化を追跡する。
• 本フレームワークを適用して、$[\![2^m, \binom{m}{r}, 2^{\min\{r,m-r\}}]\!]$ という形の量子リード・マラー符号族を、再帰的に連結、Z-安定化子の削除、X-安定化子の追加を行うことで構築した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして、クリフォード階層の高次レベルにおける論理的対角ゲートを実現するCSS符号を体系的に構築できるか？
• RQ2 転送的対角物理ゲートがCSS符号上で所望の論理的ゲートを誘導するための必要十分条件は何か？
• RQ3 符号距離を維持し、レートを向上させながら、論理的ゲートのレベルをどのようにして向上できるか？
• RQ4 連結、Z-安定化子の削除、X-安定化子の追加という3つの操作を組み合わせることで、距離が増加し、論理的ゲートのレベルが上昇するコード族を構築できるか？
• RQ5 生成子係数および安定化子の符号が、符号変換の許容性を決定する上で果たす役割は何か？

主な発見

• 連結を用いることで、物理的対角ゲートがレベル $l+1$ に位置する新しいCSS符号を構築し、元の論理的ゲートがレベル $l$ に相当するようにするという、クリフォード階層の上昇が可能になる。
• Z-安定化子の削除により論理的ゲートのレベルとレートが向上するが、符号距離が低下する可能性があり、これはX-安定化子の追加によって補償される。
• Z-安定化子の削除およびX-安定化子の追加の許容性は、それぞれ式 (46) と (79) で与えられる生成子係数および安定化子の符号に関する明示的条件によって決定される。
• 本手法により、$[\![2^m, \binom{m}{r}, 2^{\min\{r,m-r\}}]\!]$ という形の量子リード・マラー符号族が、$h$ 回の連結、$\left(\binom{m+h}{r+1} + \binom{m+h}{r} - \binom{m}{r}\right)$ 個のZ-安定化子の削除、および $\binom{m+h}{r}$ 個のX-安定化子の追加によって明示的に構築された。
• 固定された $r$ に対して符号距離は一定である。$r$ を1増やし、$m$ を $h = r + \frac{m}{r} + 1$ に調整することで、符号距離が2倍になり、論理的ゲートのレベルが1つ上昇するコードが得られる。
• パウリ$X$行列を適用することにより、デコherenceフリー部分空間における計算とストレージの切り替えが可能になる。これは、コherentlyなノイズモデルを活用している。