[論文レビュー] Cobweb Posets and KoDAG Digraphs are Representing Natural Join of Relations, their diBigraphs and the Corresponding Adjacency Matrices

A. K. Kwaśniewski|arXiv (Cornell University)|Dec 21, 2008

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ひとこと要約

本稿は、二項関係を二重完全二部グラフ（di-biclique）として表現する自然結合（$ oplus\! o$）を用いて、多項関係を表すための新規な代数的枠組みを提示する。主な貢献は、すべての多項関係がこのような二項成分の自然結合として生じることを証明し、KoDAG（Ko-順序付き有向無環グラフ）が完全二部有向グラフ $ rightarrow{K_{k,k+1}}$ を連結して形成されるフェルラース有向グラフであることを示すことである。これにより、任意の関係に対して普遍的かつチェーン完備な表現が可能となる。

ABSTRACT

Natural join of $di-bigraphs$ that is directed biparted graphs and their corresponding adjacency matrices is defined and then applied to investigate the so called cobweb posets and their $Hasse$ digraphs called $KoDAGs$. $KoDAGs$ are special orderable directed acyclic graphs which are cover relation digraphs of cobweb posets introduced by the author few years ago. $KoDAGs$ appear to be distinguished family of $Ferrers$ digraphs which are natural join of a corresponding ordering chain of one direction directed cliques called $di-bicliques$. These digraphs serve to represent faithfully corresponding relations of arbitrary arity so that all relations of arbitrary arity are their subrelations. Being this $chain -way$ complete if compared with kompletne $Kuratowski$ bipartite graphs their $DAG$ denotation is accompanied with the letter $K$ in front of descriptive abbreviation $oDAG$. The way to join bipartite digraphs of binary into $multi-ary$ relations is the natural join operation either on relations or their digraph representatives. This natural join operation is denoted here by $\os$ symbol deliberately referring to the direct sum $\oplus$ of adjacency matrices as it becomes the case for disjoint $di-bigraphs$.

研究の動機と目的

• 自然結合演算から導かれる階層的有向グラフを用いて、任意のアリティを持つ関係の表現を形式化すること。
• 自然結合の推移的還元によって生じる特別なクラスのフェルラース有向グラフとしてのKoDAGを同定すること。
• すべての多項関係が普遍的 $K$-関係（KoDAG）の部分関係として表現可能であることを確立し、関係表現の完全性を保証すること。
• 直接和とは類似するが、重複する定義域に適応した $\oplus\!\to$ 演算子を用いて、隣接行列と有向グラフによる関係表現を統一すること。

提案手法

• 二項関係の自然結合 $\oplus\!\to$ を定義し、定義域・終域が一致する関係ペairを結合することで多項関係を生成する二項演算とする。
• 各二項関係 $E_k \subseteq \Phi_k \times \Phi_{k+1}$ を有向二部グラフ $\stackrel{\scriptstyle\rightarrow}{K_{k,k+1}}$ として表現し、これを二重完全二部グラフ（di-biclique）と呼ぶ。
• このような二重完全二部グラフの鎖を用いてKoDAGを構築し、有限幅を持つ階層的かつ非巡回の有向グラフとする。
• 二重完全二部グラフの隣接行列に対する自然結合演算を用いて、全多項関係の隣接行列を構築する。
• 隣接行列に対するフェルラース条件の検証により、結果の有向グラフがフェルラース有向グラフであることを証明する。
• $n$ 個の二項関係 $E_k \subseteq \Phi_k \times \Phi_{k+1}$ の自然結合を通じて、$n$-項関係とKoDAGの間の全単射対応を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 自然結合という普遍的な代数的演算を用いて、多項関係を二項関係から体系的に構築する方法は何か？
• RQ2 得られる有向グラフ（KoDAG）が持つ構造的性質は何か。フェルラース有向グラフなどの既知の有向グラフクラスとどのように関係しているか？
• RQ3 すべての $n$-項関係が、二重完全二部グラフの自然結合によって構築された単一の普遍的 $K$-関係（$K$-relation）の部分関係として忠実に表現可能か？
• RQ4 $\oplus\!\to$ 演算子は、関係代数と有向グラフ・行列表現との関係において果たす役割は何か？
• RQ5 得られるKoDAGのフェルラース次元は、元の $n$-項関係の構造とどのように関係しているか？

主な発見

• すべての $n$-項関係は、$n$ 個の二項関係 $E_k \subseteq \Phi_k \times \Phi_{k+1}$ の自然結合として生じる。$E = \oplus\!\to_{k=0}^{n-1} E_k \subset \times_{k=0}^n \Phi_k$ であり、これにより構成の完全性が証明される。
• KoDAGは、二重完全二部グラフ $\stackrel{\scriptstyle\rightarrow}{K_{k,k+1}}$ の自然結合によって形成されるフェルラース有向グラフであり、隣接行列上でフェルラース条件を満たす。
• コブウェブ順序集合のハッセ図はKoDAGと同型であり、順序集合はこの有向グラフの推移的・反射的閉包である。
• 有向グラフにおける自然結合 $\oplus\!\to$ は、関係が互いに素である場合、そのバイ隣接行列の直接和に一致する。これは行列の直接和を一般化するものである。
• フィボナッチ・コブウェブ順序集合 $P(D_{\text{Fib}})$ は、完全なコブウェブ順序集合の部分順序集合であり、そのフェルラース次元は1より大きい。これは非自明な構造を示している。
• $K$-関係および $K$-oDAGにおける $K$-表記は、$K_{m,n}$ 型の完全二部有向グラフの使用を反映しており、カラトフスキーに因んで命名され、完全性を強調している。