[論文レビュー] Cocalibrated G_2-manifolds with Ricci flat characteristic connection

Thomas Friedrich|arXiv (Cornell University)|Mar 29, 2013

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 9被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、歪対称ねじれを持つ接続∇と、∇-リッチテンソルが消える（Ric∇ = 0）という条件を満たす7次元のcocalibrated G₂-多様体を調査する。このような多様体が特殊な幾何的構造をもつ4次元多様体へのファイブレーションとして現れることを示し、∇-平行ベクトル場を用いて最大対称性を持つものを分類する。その結果、holonomyが su(2)⊂g₂ に含まれる唯一のコンパクトな例は、S³×T²×ℝ² 上の平坦な計量であることが判明する。

ABSTRACT

Any 7-dimensional cocalibrated G_2-manifold admits a unique connection $ abla$ with skew symmetric torsion. We study these manifolds under the additional condition that the $ abla$-Ricci tensor vanishes. In particular, we describe their geometry in case of a maximal number of $ abla$-parallel vector fields.

研究の動機と目的

• 歪対称ねじれを持つ接続∇と、∇-リッチテンソルが消える（Ric∇ = 0）を満たす7次元cocalibrated G₂-多様体を分類すること。
• このような多様体が最大数の∇-平行ベクトル場をもつ場合の幾何的構造を理解すること。
• 特徴的接続のリッチ平坦性とホテラティック弦理論におけるStrominger方程式との関係を探索すること。
• T ≠ 0 の場合に、既知のG₂-ホロノミーの場合（T=0）以外の非自明な解が存在するかどうかを特定すること。

提案手法

• 任意のcocalibrated G₂-多様体に一意に定まる歪対称ねじれTを持つ計量接続∇は、Levi-Civita接続と3形式Tから導かれる。
• ∇-平行スピン接続場Ψを用いて、dT、∇T、およびTから構成される4形式σTの代数的関係を適用する。
• Ric∇ = 0 の条件を課すと、δT = 0 が導かれ、リーマンのリッチテンソルが非負であり、||T||²によって決定されることを強制する。
• N⁵ → Z⁴ というファイブレーションを分析し、N⁵は∇-平行な1形式θ₃とT = π*(Ω²) ∧ ηを満たす。ここでΩ²はZ⁴上の閉じた自己双対2形式である。
• Frobeniusの定理を用いて、特定の曲率および可積分性条件の下で、分布E²および(E²)⊥が包合的であることを示す。
• hol(∇) ⊂ su(2) ⊂ g₂ のホロノミー条件を用いて、3つの∇-平行2形式Ω²₁、Ω²₂、Ω²₃の存在を強制し、Ω²₃がZ⁴上にケーラー形式に射影されることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特徴的接続∇のリッチ曲率が消えるとき、7次元cocalibrated G₂-多様体のグローバルな幾何的構造はどのようなものか？
• RQ2 どのような多様体が最大数の∇-平行ベクトル場をもち、それらがトポロジーおよびホロノミーにどのような意味を持つのか？
• RQ3 T ≠ 0 の場合に、Strominger方程式（∇Ψ = 0、Ric∇ = 0、d*赴 = 0）の非自明な解が存在するか？また、G₂-ホロノミーの場合とはどのように異なるか？
• RQ4 ∇-平行な1形式θ₃および関連するファイブレーションN⁵ → Z⁴が、底面および全空間の幾何にどのような制約を課えるか？
• RQ5 N⁵×ℝ² 上の接続∇が平坦になる条件は何か？その結果得られる多様体は何か？

主な発見

• ∇-ホロノミーが su(2)⊂g₂ に含まれる唯一のコンパクト7次元多様体は、微分同相的に S³×T²×ℝ² であり、この場合の接続∇は平坦である。
• リーマンのリッチテンソルRicᵍ は2次元分布E²上で消え、その直交補空間(E²)⊥上で (μ²/2)·Id に等しい。ここでμはねじれ形式に関連する定数である。
• 2形式Ω²₃ = (1/μ)(∗T + θ₃⌟T) は∇-平行であり、閉じており（dΩ²₃ = 0）、底面Z⁴上で自己双対かつ∇ᵍ-平行な2形式に射影される。
• 与えられた幾何的制約の下で、コンパクトかつ滑らかな場合、底面多様体Z⁴は微分同相的に S²×T² に同型であることが示された。
• θ₃の流れは接ベクトル束の分解を保存し、ねじれ形式Tと可換であるため、∂ₜT = 0 が成り立つ。
• 接続∇はN⁵×ℝ² = S³×T²×ℝ² 上で平坦であり、これは最大対称性とRic∇ = 0 をもつ唯一のコンパクト例であることを確認した。