[论文解读] Combinatorial Approximation Algorithms for MaxCut using Random Walks

Satyen Kale, C. Seshadhri|arXiv (Cornell University)|Aug 23, 2010

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 17被引用 13

一句话总结

该论文提出了首个组合式 MaxCut 近似算法，通过使用简单随机游走模拟谱方法，首次在常数因子上突破了 0.5 的近似界限。该算法在 $\widetilde{O}(n^b)$ 时间内实现了 $(0.5 + \delta)$-近似，其中 $b > 1.5$，且 $\delta = \delta(b) > 0$，通过结合随机游走采样与基于混合性质的新型局部图划分过程实现。

ABSTRACT

We give the first combinatorial approximation algorithm for Maxcut that beats the trivial 0.5 factor by a constant. The main partitioning procedure is very intuitive, natural, and easily described. It essentially performs a number of random walks and aggregates the information to provide the partition. We can control the running time to get an approximation factor-running time tradeoff. We show that for any constant b > 1.5, there is an O(n^{b}) algorithm that outputs a (0.5+delta)-approximation for Maxcut, where delta = delta(b) is some positive constant. One of the components of our algorithm is a weak local graph partitioning procedure that may be of independent interest. Given a starting vertex $i$ and a conductance parameter phi, unless a random walk of length ell = O(log n) starting from i mixes rapidly (in terms of phi and ell), we can find a cut of conductance at most phi close to the vertex. The work done per vertex found in the cut is sublinear in n.

研究动机与目标

• 开发一种组合式算法，改进 MaxCut 问题中此前从未实现过的 0.5 近似因子。
• 用简单的随机游走和整数运算替代数值矩阵计算（如特征向量计算）。
• 提供运行时间与近似因子之间的权衡，实现在亚二次时间内的优于 0.5 的近似。
• 设计一种局部图划分过程，实现每个顶点输出的亚线性工作量，同时保持良好的导出率保证。

提出的方法

• 算法从每个顶点出发，进行长度为对数级的多次随机游走，以估计命中特定顶点的概率，从而用采样替代谱计算。
• 基于随机游走结果应用一种“翻转符号”启发式方法，该方法被证明可模拟图拉普拉斯矩阵上的幂方法。
• 设计了一种弱局部划分过程：给定一个顶点和导出率参数 $\phi$，该过程要么找到导出率至多为 $\phi$ 的割，要么证明长度为 $O(\log n)$ 的随机游走已充分混合。
• 算法根据随机游走行为将图划分为子图，并基于各组件中估计的最大割值来切割边。
• 利用集中不等式从样本中估计概率，确保以高概率保持准确性。
• 最终的割通过组合子图中的割并切割剩余边的一半形成，其性能通过二元熵函数 $H(\cdot)$ 的凸性进行界定。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以设计一种完全组合式的算法，在不依赖数值线性代数的前提下，突破 MaxCut 问题中 0.5 的近似因子？
• RQ2 是否能够仅通过随机游走和采样来模拟谱方法（如幂方法），从而避免矩阵指数运算或特征向量计算？
• RQ3 能否设计一种局部划分算法，实现在每个顶点输出上亚线性工作量的同时，保持良好的导出率保证？
• RQ4 此类组合式 MaxCut 算法中，运行时间与近似比之间存在怎样的权衡？
• RQ5 该方法能否推广至 MaxCut 之外的其他 2-CSP 问题？

主要发现

• 对于任意常数 $b > 1.5$，该算法在 $\widetilde{O}(n^b)$ 时间内实现了 $(0.5 + \delta)$-近似，其中 $\delta = \delta(b) > 0$。
• 在 $\widetilde{O}(n^{1.6})$ 时间内，算法实现了 $0.5051$ 的近似因子；在 $\widetilde{O}(n^2)$ 时间内达到 $0.5155$；在 $\widetilde{O}(n^3)$ 时间内实现 $0.5727$。
• 该算法的分析表明，基于随机游走的启发式方法能有效模拟图拉普拉斯矩阵上的幂方法，且以常数概率生成一个良好的初始向量。
• 局部划分过程确保了每个顶点输出的亚线性工作量，且要么找到低导出率的割，要么证明从给定顶点出发的随机游走已快速混合。
• 近似因子的下界为 $\max_{\varepsilon_1} \min_\varepsilon \max[1/(2(1-\varepsilon)), \text{OBJ}(\varepsilon, \varepsilon_1)]$，其中 $\text{OBJ}$ 在边分布与割质量约束下被最小化。
• 当 $b \to \infty$ 时，近似因子趋近于 Trevisan 算法的值（$0.6142$），表明该算法在向已知谱界逼近方面具有可扩展性。