[论文解读] Combining the Shortest Paths and the Bottleneck Paths Problems

Tong-Wook Shinn, Tadao Takaoka|arXiv (Cornell University)|Nov 20, 2013

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 9被引用 6

一句话总结

本文提出了所有流的最短路径（SP-AF）问题，结合最短路径与瓶颈路径目标，以寻找能够容纳所有可能流量需求的最短路径。针对边权为整数的有向图，本文提出了单源（SSSP-AF）和全源对（APSP-AF）变体的高效算法，分别实现了 $O(m^2 + nc)$ 和 $O(m^2n + mn^2"log(c/mn))$ 的时间复杂度，利用基于桶的优先队列和流量感知的路径松弛策略。

ABSTRACT

We combine the well known Shortest Paths (SP) problem and the Bottleneck Paths (BP) problem to introduce a new problem called the Shortest Paths for All Flows (SP-AF) problem that has relevance in real life applications. We first solve the Single Source Shortest Paths for All Flows (SSSP-AF) problem on directed graphs with unit edge costs in $O(mn)$ worst case time bound. We then present two algorithms to solve SSSP-AF on directed graphs with integer edge costs bounded by $c$ in $O(m^2 + nc)$ and $O(m^2 + mn\log{(\frac{c}{m})})$ time bounds. Finally we extend our algorithms for the SSSP-AF problem to solve the All Pairs Shortest Paths for All Flows (APSP-AF) problem in $O(m^{2}n + nc)$ and $O(m^{2}n + mn^{2}\log{(\frac{c}{mn})})$ time bounds. All algorithms presented in this paper are practical for implementation.

研究动机与目标

• 为解决现实世界中需同时优化流量容量与路径长度的路由挑战（如紧急疏散与网络路由）
• 形式化一种新图问题——所有流的最短路径（SP-AF），该问题推广了最短路径与瓶颈路径问题
• 设计适用于边权为非负整数的有向图的 SSSP-AF 与 APSP-AF 的实用高效算法
• 通过利用流量感知松弛与基于桶的优先队列，实现优于直接方法的时间复杂度

提出的方法

• 提出一种基于流量索引的松弛策略，路径根据其可支持的最大流量进行更新，使用整数映射的流量值作为索引
• 采用改进的类似 Dijkstra 的算法，使用包含四元组 (u,v,d,f) 的优先队列，追踪每对源-汇的路径距离 d 与流量容量 f
• 在单位成本图上使用一维桶系统，实现 SSSP-AF 的 $O(m^2 + nc)$ 时间复杂度
• 采用 $k$-层级联桶系统，将一般整数边权图的时间复杂度降低至 $O(m^2 + mn\log(c/m))$
• 通过维护二维数组 $D^f[u][v]$ 支持所有源-汇对与流量值，将 SSSP-AF 框架扩展至 APSP-AF
• 在所有四元组 (u,v,d,f) 上维护全局优先队列，并记录前驱信息以支持路径重构

实验结果

研究问题

• RQ1 最短路径问题能否被增强，以确保所选路径也能支持所有必需的流量需求，从而避免拥塞？
• RQ2 在边权为整数的有向图上，SSSP-AF 问题的最优时间复杂度是多少？
• RQ3 如何高效地将 SSSP-AF 算法扩展至求解全源对所有流的最短路径（APSP-AF）问题？
• RQ4 基于桶的优先队列是否能显著提升 SP-AF 问题的性能，相比标准 Dijkstra 方法？

主要发现

• 在单位成本图上，SSSP-AF 问题通过基于流量索引的松弛策略与简单优先队列，以 $O(mn)$ 时间求解
• 对于边权上限为 $c$ 的整数边权图，SSSP-AF 问题通过一维桶系统以 $O(m^2 + nc)$ 时间求解
• 另一种 SSSP-AF 算法通过 $k$-层级联桶系统实现 $O(m^2 + mn\log(c/m))$ 时间复杂度
• APSP-AF 问题通过相同的基于桶的方法在 $O(m^2n + nc)$ 时间内求解
• 通过优化级联桶结构，改进的 APSP-AF 算法运行时间为 $O(m^2n + mn^2\log(c/mn))$
• 所提出的算法具有实用性，通过利用流量感知路径松弛与高效的优先队列数据结构，显著优于直接方法