[論文レビュー] Comment on "Reply to Comment on Time-dependent Quasi-Hermitian Hamiltonians and the Unitary Quantum Evolution"

Alí Mostafazadeh|ArXiv.org|Nov 7, 2007

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics参考文献 5被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、時間に依存する擬似ヒルベルト空間ハミルトニアンの形式化について、M. Znojilの定式化を批判し、計量演算子が時間に依存する場合、時間発展演像が元のハミルトニアン $ H $ ではなく、有効ハミルトニアン $ H' $ によって支配されることを示している。主な結果は、$ H' $ が観測可能でないことであり、これは時間に依存する計量の下でのユニタリ発展演像が生成子が観測不能であることを示す定理と整合的である。これにより、Znojilの研究における「ハミルトニアン」という用語の非標準的な使用が露呈される。

ABSTRACT

I point out that if one defines the operator $U_R(t)$ as done by M. Znojil in his reply [arXiv:0711.0514v1] to my comment [arXiv:0711.0137v1] and also accepts the validity of the defining relation of $U_R(t)$ as given in his paper [arXiv:0710.5653v1], one finds that the time-evolution of the associated quantum system is not governed by the Schrödinger equation for the Hamiltonian operator $H$ but an operator $H'$ which differs from $H$ if the metric operator is time-dependent. In the latter case this effective Hamiltonian $H'$ is not observable. This is consistent with the conclusions of my paper [Phys. Lett. B 650, 208 (2007), arXiv:0706.1872v2] which allow for unitary time-evolution generated by unobservable Hamiltonians.

研究の動機と目的

• M. Znojilの時間に依存する擬似ヒルベルト空間量子力学における「ハミルトニアン」という用語の概念的不整合を明確化すること。
• 計量演算子が時間に依存する場合、Znojilの枠組みにおける時間発展演像の生成子が観測可能でないことを示すこと。
• Znojilの定式化を、時間に依存する計量の下でのユニタリ発展演像が生成子が観測不能であることを示す既知の定理と調和させること。
• 参照ヒルベルト空間と時間に依存する内積を用いた数学的に明確な動的再定式化を提供すること。

提案手法

• 時間発展演像演算子 $ U_R(t) $ を $ |Φ(t)\rangle = U_R(t)|Φ(0)\rangle $ で定義し、ハミルトニアン $ H $ を用いたシュレーディンガー方程式からその時間発展を導出する。
• 関係式 $ U_R(t) = \omega(t)^{-1}u(t)\omega(0) $ を用い、$ u(t) $ が $ i\hbar \partial_t u(t) = h(t)u(t) $ を満たし、$ h(t) = \omega(t)H(t)\omega(t)^{-1} $ であることを用いる。
• 実際に時間発展演像を支配する有効ハミルトニアン $ H'(t) = H(t) - i\hbar \omega(t)^{-1} \partial_t \omega(t) $ を導出する。
• 時間に依存する内積 $ \prec\cdot,\cdot\succ = \langle\cdot|\Theta|\cdot\rangle $ を持つ物理的ヒルベルト空間において、ユニタリティ条件 $ U(t)^\dagger \Theta(t) U(t) = \Theta(0) $ を確立する。
• 生成子 $ H'(t) = i\hbar [\partial_t U(t)] U(t)^{-1} $ を定義し、$ {H'}^\dagger = \Theta H' \Theta^{-1} + i\hbar \partial_t \Theta \, \Theta^{-1} $ を用いてその非観測可能性を示す。
• 計量 $ \Theta $ が定数でない限り、$ H' $ が $ \Theta $-擬似ヒルベルト空間的自己共役（したがって観測可能）でないことを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Znojilの定式化における時間発展演像は、元のハミルトニアン $ H $ を用いた標準的なシュレーディンガー方程式に従うか？
• RQ2 計量演算子 $ \Theta $ が時間に依存する場合、時間発展演像の真の生成子は何か？
• RQ3 計量が時間に依存する場合、有効ハミルトニアン $ H' $ は観測可能か？
• RQ4 時間に依存する計量の枠組みにおいて、時間発展演像のユニタリティと生成子の観測可能性の関係は何か？
• RQ5 なぜZnojilの「ハミルトニアン」という用語の使用は、観測可能性とユニタリティに関する既知の結果と矛盾するのか？

主な発見

• Znojilの定式化における時間発展演像は、元のハミルトニアン $ H(t) $ ではなく、有効ハミルトニアン $ H'(t) = H(t) - i\hbar \omega(t)^{-1} \partial_t \omega(t) $ によって支配される。
• 計量 $ \Theta $ が時間に依存する場合、有効ハミルトニアン $ H' $ は $ \Theta $-擬似ヒルベルト空間的自己共役でないため、観測可能でない。
• 計量が時間に依存する場合、ユニタリ時間発展演像の生成子は観測不能であり、これはこのようなユニタリティが生成子が観測不能であることを示す定理と整合的である。
• 標準的な「ハミルトニアン」としての定義（シュレーディンガー発展演像の生成子）は、この枠組みでは観測不能な演算子を生じさせ、通常の観測可能性の要件と矛盾する。
• Znojilが $ H $ を「ハミルトニアン」と呼ぶ一方で、実際の動的生成子は $ H' $ であるため、これは非標準的な用語法であり、概念的混乱を引き起こしている。
• 参照ヒルベルト空間と時間に依存する内積を用いて動的を定義することで、この定式化を数学的に明確に再定式化でき、$ H' $ が真の生成子であると明確にできる。