[論文レビュー] Compact convex structure of measurements and its applications to simulability, incompatibility, and convex resource theory of continuous-outcome measurements

Yui Kuramochi|arXiv (Cornell University)|Feb 10, 2020

Quantum Mechanics and Applications参考文献 56被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、後処理同値性と弱位相を用いて、一般確率理論における連続的結果測定のためのコンactな凸構造を確立し、同時実現可能性と不整合性の統一的な枠組みを提供する。robustness測度による非同時実現可能性と不整合性が、それぞれ同時実現可能または可換測定に対する状態判別確率の最適比に正確に対応することを証明しており、有限次元量子系の結果を無限次元設定へ一般化する。

ABSTRACT

We introduce the post-processing preorder and equivalence relations for general measurements on a possibly infinite-dimensional general probabilistic theory described by an order unit Banach space $E$ with a Banach predual. We define the measurement space $\mathfrak{M}(E)$ as the set of post-processing equivalence classes of continuous measurements on $E .$ We define the weak topology on $\mathfrak{M} (E)$ as the weakest topology in which the state discrimination probabilities for any finite-label ensembles are continuous and show that $\mathfrak{M}(E)$ equipped with the convex operation corresponding to the probabilistic mixture of measurements can be regarded as a compact convex set regularly embedded in a locally convex Hausdorff space. We also prove that the measurement space $\mathfrak{M}(E) $ is infinite-dimensional except when the system is $1$-dimensional and give a characterization of the post-processing monotone affine functional. We apply these general results to the problems of simulability and incompatibility of measurements. We show that the robustness measures of unsimulability and incompatibility coincide with the optimal ratio of the state discrimination probability of measurement(s) relative to that of simulable or compatible measurements, respectively. The latter result for incompatible measurements generalizes the recent result for finite-dimensional quantum measurements. Throughout the paper, the fact that any weakly$\ast$ continuous measurement can be arbitrarily approximated in the weak topology by a post-processing increasing net of finite-outcome measurements is systematically used to reduce the discussions to finite-outcome cases.

研究の動機と目的

• 順序単位バナッハ空間 $E$ とその双対を備えた測定空間 $τ(E)$ を、連続的測定の後処理同値類の集合として定義すること。
• 有限ラベル系の集合に対する状態判別確率が連続となるように、$τ(E)$ に弱位相を導入すること。
• 確率的混合に関して $τ(E)$ がコンパクトな凸集合をなすこと、かつ局所凸ハウスドルフ空間に埋め込まれることを示すこと。
• 後処理単調なアフィン汎関数を特徴付け、$τ(E)$ が1次元系を除き無限次元であることを証明すること。
• 状態判別性能から導かれるrobustness測度を用いて、同時実現可能性と不整合性を定量化するフレームワークを適用すること。

提案手法

• 測定の後処理順序と同値性を定義し、古典的後処理によって互いに変換可能な測定を同定すること。
• 後処理同値関係による連続的測定の商として測定空間 $τ(E)$ を構成すること。
• すべての有限ラベル系に対して状態判別確率が連続となるような、最も弱い位相を $τ(E)$ に導入すること。
• 弱*連続性と有限結果測定への近似を用いて、確率的混合に関して $τ(E)$ がコンパクトな凸集合であることを証明すること。
• 任意の弱*連続測定が、有限結果測定への後処理増加ネットで近似可能であるという事実を用い、無限次元問題を有限次元に還元すること。
• 双対性と双極定理を用いて、後処理単調なアフィン汎関数を特徴付け、単調汎関数の錐と関連付けること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限結果空間が存在しないにもかかわらず、一般確率理論における連続的結果測定の空間を、確率的混合に関してコンパクトかつ凸的に構造化する方法は何か？
• RQ2 非同時実現可能性のrobustnessと、同時実現可能な測定に対する状態判別確率の最適比との正確な関係は何か？
• RQ3 有限次元量子系から無限次元GPTへと不整合性のrobustnessがどのように一般化されるか？
• RQ4 状態判別確率が連続となるような位相付けが可能であり、かつ $τ(E)$ がコンパクトかつ凸であるか？
• RQ5 有限結果測定による弱*連続近似が、連続的測定の解析を有限次元ケースに還元する役割は何か？

主な発見

• $τ(E)$ は確率的混合に関してコンパクトな凸集合であり、局所凸ハウスドルフ空間に正しく埋め込まれており、状態判別確率が連続となる弱位相を備えている。
• 非同時実現可能性のrobustness測度は、測定の状態判別確率と任意の同時実現可能測定の状態判別確率との最適比に一致する。
• 不整合性のrobustness測度は、不整合な測定の状態判別確率と任意の可換な測定ペairの状態判別確率との最適比に一致し、有限次元量子系の結果を一般化する。
• $τ(E)$ は1次元系を除き無限次元であり、高次元GPTにおける連続的結果測定の豊かさを反映している。
• 後処理単調なアフィン汎関数は、双極定理を用いて、単調汎関数の集合の双対錐によって完全に特徴付けられる。
• 任意の弱*連続測定は、弱位相において後処理増加ネットによる有限結果測定の近似で表現可能であり、無限次元問題の有限次元還元が可能である。