[论文解读] Comparing tautological relations from the equivariant Gromov-Witten theory of projective spaces and spin structures

Felix Janda|arXiv (Cornell University)|Jul 17, 2014

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 17被引用 10

一句话总结

本文建立了从射影空间的等变 Gromov-Witten 理论导出的曲线模空间中的重言关系与从自旋结构导出的重言关系之间的深层联系。证明了 $<em>m+2</em>$-自旋关系由 $<em>\mathbb{P}^{m}</em>$-关系推出，且当 $m=1$（即 3-自旋）时，两组关系在无限制条件下等价。结果通过 Givental-Teleman 重构提供了对 Chow 上同调中 Pixton 关系的新证明。

ABSTRACT

Pandharipande-Pixton-Zvonkine's proof of Pixton's generalized Faber-Zagier relations in the tautological ring of $\overline M_{g, n}$ has started the study of tautological relations from semisimple cohomological field theories. In this article we compare the relations obtained in the examples of the equivariant Gromov-Witten theory of projective spaces and of spin structures. We prove an equivalence between the $\mathbb P^1$- and 3-spin relations, and more generally between restricted $\mathbb P^m$-relations and similarly restricted (m + 2)-spin relations. We also show that the general $\mathbb P^m$-relations imply the (m + 2)-spin relations.

研究动机与目标

• 比较来自 $\mathbb{P}^m$ 的等变 Gromov-Witten 理论与来自 $r$-自旋结构的重言关系，特别是当 $r = m+2$ 时。
• 确定 $\mathbb{P}^m$-关系是否蕴含 $(m+2)$-自旋关系，以及在限制条件下它们是否等价。
• 通过半单上同调场论的 Givental-Teleman 重构，提供对 Chow 上同调中 Pixton 关系的新证明。
• 研究 $R$-矩阵的结构及其在通过振荡积分的渐近展开关联不同上同调场论中的作用。

提出的方法

• 使用半单上同调场论（CohFT）的 Givental-Teleman 重构定理，通过 $R$-矩阵作用推导重言关系。
• 将重构公式应用于 $\mathbb{P}^m$ 的等变 Gromov-Witten 理论，其中 $R$-矩阵通过局部化和振荡积分的渐近分析计算得出。
• 比较 $\mathbb{P}^m$-理论与 $(m+2)$-自旋理论的 $R$-矩阵，表明在受限条件下其渐近展开一致。
• 利用引力子方程与稀释子方程，以及 WDVV 和单位元公理，计算 $n$-点函数并推导 $R$-矩阵结构。
• 通过 $\overline{M}_{0,n}(\mathbb{P}^m,d)$ 上的局部化方法计算顶点贡献，并验证 $R$-矩阵满足量子微分方程及在 $q=0$ 处的正确极限。
• 通过匹配 $R$-矩阵元素并验证辛条件，建立受限 $\mathbb{P}^m$-关系与受限 $(m+2)$-自旋关系之间的等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 来自 $\mathbb{P}^m$ 的等变 Gromov-Witten 理论的重言关系是否蕴含 $(m+2)$-自旋关系？
• RQ2 当限制在某些不变量类时，$\mathbb{P}^m$-关系与 $(m+2)$-自旋关系是否等价？
• RQ3 能否通过振荡积分的渐近分析，将 $\mathbb{P}^m$-理论的 $R$-矩阵与 $(m+2)$-自旋理论的 $R$-矩阵匹配？
• RQ4 $\mathbb{P}^m$-理论的 $R$-矩阵是否为量子微分方程的解，并在 $q=0$ 处满足正确的初值条件？
• RQ5 是否能从 $(m+2)$-自旋关系推导出全部 $\mathbb{P}^m$-关系，还是存在更多 $\mathbb{P}^m$-关系？

主要发现

• 对于所有 $m \geq 1$，$\mathbb{P}^m$-关系蕴含 $(m+2)$-自旋关系，从而为后者在 Chow 上同调中提供了新证明。
• 当 $m=1$ 时，$\mathbb{P}^1$-关系与 3-自旋关系在无限制条件下完全等价，且两者的 $R$-矩阵完全匹配。
• 当 $m>1$ 时，$\mathbb{P}^m$-关系与 $(m+2)$-自旋关系仅在受限于某些不变量类时等价，提示可能存在关系的层级结构。
• $\mathbb{P}^m$-理论的 $R$-矩阵通过局部化和渐近分析计算得出，并满足量子微分方程及在 $q=0$ 处的正确极限。
• $R$-矩阵元素表示为伯努利数与等变参数差倒数之和的指数形式，其结构与 $A_{m+1}$-奇点理论一致。
• 通过证明 $S(z)$ 关于度量 $\eta$ 是 $S^{-1}(-z)$ 的伴随算子，验证了辛条件，确认与 Givental 形式体系的一致性。