[論文レビュー] Completely distributive enriched categories are not always continuous

Hongliang Lai, Dexue Zhang|arXiv (Cornell University)|Aug 3, 2019

Advanced Algebra and Logic参考文献 28被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、連続的t-ノルムを備えた単位区間上の量代数拡張圏における完全分配的性質が、順序理論の古典的状況とは異なり連続性を示さないことを示している。主な結果は、連続性が成り立つのは、含意演算子が対角線以外で連続であるときに限られ、その条件はt-ノルム構造と前方コーシー加重の随伴条件を用いて明確に特徴づけられることである。

ABSTRACT

In contrast to the fact that every completely distributive lattice is necessarily continuous in the sense of Scott, it is shown that complete distributivity of a category enriched over the closed category obtained by endowing the unit interval with a continuous t-norm does not imply its continuity in general. Necessary and sufficient conditions for the implication are presented.

研究の動機と目的

• 量代数豊密化圏における完全分配的性質が連続性を示すかどうかを調査し、ラティスにおける古典的結果を一般化すること。
• 任意の完全分配的Q-圏が連続性を示すために必要な連続的t-ノルムの正確な条件を同定すること。
• 豊密化圏論における前方コーシー加重とその随伴構造が連続性を決定づける役割を明確化すること。
• 明確な二分法を確立する：含意の対角線外での連続性が、含意が成り立つための必要十分条件である。

提案手法

• 量代数 Q = ([0,1], &, 1) を用いた豊密化圏論を採用し、ここで & は連続的t-ノルムである。
• 前向きコーシー加重を順序集合におけるイデアルの一般化として定義し、加重の圏 CA を構成する。
• 随伴ストリング条件 tA ⊣ supA ⊣ eA : A → CA を用いて、豊密化された設定における連続性を定義する。
• イデムポテン要素と局所的t-ノルム同型（例：Łukasiewiczまたは積t-ノルムへの同型）を用いて含意の振る舞いを分析する。
• 連続的t-ノルムの順序和分解を用いて反例を構成し、同値条件を証明する。
• 完全Q-圏におけるCAのコタンジェントおよびミート閉包性質を用いて、随伴の存在を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 連続的t-ノルム & を備えたQ-圏 ([0,1], &, 1) において、完全分配的性質は連続性を示すか？
• RQ2 任意の完全分配的Q-圏が連続性を示すために必要なt-ノルム & の構造的条件は何か？
• RQ3 含意演算子 →: [0,1]² → [0,1] が対角線以外のすべての点で連続であることは、完全分配的性質が連続性を示すための必要十分条件か？
• RQ4 前向きコーシー加重からすべての加重への包含 CA → PA が左随伴を持つための条件は何か？
• RQ5 連続的Q-圏の基礎となる順序集合上で、コタンジェント演算 p ⊸ − がスコット連続であるのはどのような場合か？

主な発見

• 任意の連続的t-ノルムに対して、Q-圏 ([0,1], &, 1) において完全分配的性質は連続性を示さない。
• 含意 → が対角線以外で連続であることは、すべての完全分配的Q-圏が連続であるための必要十分条件である。
• t-ノルムがある区間 [a⁻, a⁺] でŁukasiewicz t-ノルムに制限されるならば、([0,1], dL) は連続でない。これは反例を提供する。
• 包含 CA → PA が左随伴を持つのは、含意 → が対角線以外で連続であるときかつそのときに限る。
• アーチメデス的t-ノルム（積またはŁukasiewicz）に対して、[0,p) 上での p → − の連続性は、CAにおけるコタンジェントの存在と同値である。
• 連続性が成り立つためには、量代数 ([a⁻, a⁺], &, a⁺) が積t-ノルム ([0,1], &P, 1) に同型でなければならない。Łukasiewicz t-ノルムとは同型でない。