[論文レビュー] Lax Distributive Laws for Topology, I

Walter Tholen|arXiv (Cornell University)|Mar 20, 2016

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 60被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、小さな量的圏Qの離散的関手圏モナドの上でのモナドTの緩い分配則を介して、モナド-量的圏に豊かにされた圏を導入し、その緩い分配則とQ上の離散的関手圏における緩いEilenberg-Moore T代数構造との間にガロア対応を確立する。主な貢献は、代数的性および左ホイスケットリング性の性質を用いた最小緩モナド拡張の特徴付けであり、Hofmannの自然な位相的理論を量的圏へ一般化し、位相的、距離的、順序的構造を1つの圏的枠組みで統一する。

ABSTRACT

For a quantaloid $\mathcal{Q}$, considered as a bicategory, Walters introduced categories enriched in $\mathcal{Q}$. Here we extend the study of monad-quantale-enriched categories of the past fifteen years by introducing monad-quantaloid-enriched categories. We do so by making lax distributive laws of a monad $\mathbb{T}$ over the discrete presheaf monad of the small quantaloid $\mathcal{Q}$ the primary data of the theory, rather than the lax monad extensions of $\mathbb{T}$ to the category of $\mathcal{Q}$-relations that they equivalently describe. The central piece of the paper establishes a Galois correspondence between such lax distributive laws and lax Eilenberg-Moore $\mathbb{T}$-algebra structures on the set of discrete presheaves over the object set of $\mathcal{Q}$. We give a precise comparison of these structures with the more restrictive notion introduced by Hofmann in the case of a commutative quantale, called natural topological theories here, and describe the lax monad extensions introduced by him as minimal. Throughout the paper, a variety of old and new examples of ordered, metric and topological structures illustrate the theory developed, which includes the consideration of algebraic functors and change-of-base functors in full generality.

研究の動機と目的

• モナド-量的圏に豊かにされた圏を、緩い分配則を主データとして用いることにより、モナド-量的圏に豊かにされた圏への一般化を図ること。
• 小さな量的圏Qの離散的関手圏モナド上でのモナドTの緩い分配則と、Q上の離散的関手圏における緩いEilenberg-Moore T代数構造との間のガロア対応を確立すること。
• 代数的および左ホイスケットリング性の性質を用いて、TのQ関係への最小緩モナド拡張を特徴付けること。Hofmannの自然な位相的理論の概念を拡張すること。
• 量的圏Vを小さな量的圏Qに置き換えることで、位相的、距離的、順序的構造を統一する枠組みを提供することにより、(T, V)-圏の理論をより広い圏的一般化へと拡張すること。

提案手法

• 基礎的データとして、小さな量的圏Q上の離散的関手圏モナドPに関するモナドTの緩い分配則λ: T ∘ P → P ∘ T を用いる。
• 理論は、(T, Q)-圏を緩いλ代数として構成し、laxモナド拡張に依存せずに、写像およびSet-モナドTとPの観点から公理を直接表現する。
• Q上の離散的関手圏における緩いEilenberg-Moore T代数構造と緩い分配則との間のガロア対応を確立する。
• 代数的緩モナド拡張および左ホイスケットリング拡張の概念を導入し、ξを用いて定義される拡張族Tξが、すべての許容的で、左反転ホイスケットリング的かつ単調なTのQ関係への緩いモナド拡張の中で最小であることを示す。
• 最小拡張Tξは、(Tξϕ)₁ = (canX,Y)∘ ∘ (T|ϕ|)∘ ∘ ξ∘ ∘ ε₁という式で特徴付けられ、|ϕ| = ϕ₁: X×Y → Q₀である。
• この枠組みはHofmannの自然な位相的理論を量的圏へ一般化し、彼の拡張がこのより広い設定において最小であることを示している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 緩いモナド拡張を導出するのではなく、緩い分配則を主データとして用いることにより、モナド-量的圏に豊かにされた圏を体系的に構成する方法は何か？
• RQ2 小さな量的圏Qの離散的関手圏モナド上でのモナドTの緩い分配則と、Q上の離散的関手圏における緩いEilenberg-Moore T代数構造との間の正確な対応関係は何か？
• RQ3 可換な量的圏の場合に、代数的および左ホイスケットリング緩モナド拡張は、自然な位相的理論の概念とどのように関係するか？
• RQ4 緩モナド拡張族の最小性を保証する条件は何か？ また、その最小性はどのように代数的に特徴付けられるか？
• RQ5 量的圏Vを小さな量的圏Qに置き換えることで、(T, V)-圏の理論がどのように一般化され、位相的、距離的、順序的構造が統一されるのか？

主な発見

• 小さな量的圏Qの離散的関手圏モナド上でのモナドTの緩い分配則と、Q上の離散的関手圏における緩いEilenberg-Moore T代数構造との間にガロア対応が確立された。
• 自然な位相的理論ξを用いて定義される拡張族Tξは、すべての許容的で、左反転ホイスケットリング的かつ単調なTのQ関係への緩いモナド拡張の中で最小である。
• 最小拡張Tξは、(Tξϕ)₁ = (canX,Y)∘ ∘ (T|ϕ|)∘ ∘ ξ∘ ∘ ε₁を満たし、|ϕ| = ϕ₁: X×Y → Q₀であり、ξを誘導するような最小の拡張族として特徴付けられる。
• 代数的緩モナド拡張が、(Tξϕ)₁ = (canX,Y)∘ ∘ Tξ(ϕ₁) ∘ ζ∘を満たす条件と同値であることが示され、要素を含まない表現で代数的性が確認された。
• 本稿は、自然な位相的理論ξから緩いモナド拡張への2つの経路——最大単調な分配則を介する経路とTξを介する経路——が本質的に異なる拡張型をもたらすことを示し、Tξが最小かつ代数的であることを示した。
• この枠組みはHofmannの自然な位相的理論を量的圏へ一般化し、彼の拡張がこのより広い設定において最小であることを示した。さらに、最小拡張Tξは、その最小性と代数的性によって一意に特徴付けられる。