[論文レビュー] Complex Path Integrals and the Space of Theories

D. D. Ferrante, G. S. Guralnik+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 17, 2013

advanced mathematical theories参考文献 115被引用数 16

ひとこと要約

この論文は、Feynman経路積分を、$\tau \in \mathsf{SL}(2,\mathbb{C})$ でパラメータ化された複素積分サイクルを導入することで拡張し、Dp-brane および量子位相と関連付ける。経路積分は線形正準変換およびメリン・バーンズ変換として定式化され、量子場理論の解析的構造が明らかになり、サイクル依存の量子化を通じて『理論の空間』における量子位相、ストークスの現象、壁越え現象の研究が可能になる。

ABSTRACT

The Feynman Path Integral is extended in order to capture all solutions of a quantum field theory. This is done via a choice of appropriate integration cycles, parametrized by M in SL(2,C), i.e., the space of allowed integration cycles is related to certain Dp-branes and their properties, which can be further understood in terms of the "physical states" of another theory. We also look into representations of the Feynman Path Integral in terms of a Mellin-Barnes transform, bringing the singularity structure of the theory to the foreground. This implies that, as a sum over paths, we should consider more generic paths than just Brownian ones. Finally, we are able to study the Space of Theories through our examples in terms of their Quantum Phases and associated Stokes' Phenomena (wall-crossing).

研究の動機と目的

• 標準的な実積分路を超えて、量子場理論のすべての解を捉えるために、Feynman経路積分を一般化すること。
• 結合定数 $\tau$ および表面項 $\Sigma$ でパラメータ化された異なる積分サイクルが、どのように異なる量子位相および物理的状態に対応するかを理解すること。
• 経路積分の解析的構造とDp-brane、境界条件の幾何学的性質との間の関係を確立すること。
• 一般化された積分変換を用いて、量子位相、壁越え現象、ストークスの現象を通じて『理論の空間』を研究すること。
• 線形正準変換を用いた経路積分の量子化とシンプレクティック構造の統合、およびフォックスH関数などの解析的数論的道具の利用による統一。

提案手法

• 標準的なフーリエ変換を複素的かつ非自明なサイクルに一般化するため、経路積分の積分路 $\mathcal{C}_{\tau}^{\Sigma}$ を $\mathsf{SL}(2,\mathbb{C})$ 要素でパラメータ化する。
• 位相空間のシンプレクティック構造を保ち、正準不変性を許容するように、経路積分を線形正準変換として表現する。
• 経路積分をメリン・バーンズ変換として表現し、作用の特異性構造と解析的性質を明確にする。
• ペーリ・ウイナー定理および解析接続を用いて、被積分関数および源項 $e^{iJ\varphi}$ が同じリーマン面上で正しく定義されることを保証する。
• 境界条件およびシュヴィンガー＝ダイソン作用素の自己共役拡張をモノドロミーおよびDp-brane配置に関連付ける。
• ユニタリ量子化を一般化するための $J$-拡張を導入し、$\mathcal{PT}$-対称量子力学を特別な場合として含む。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Feynman経路積分は、標準的な実積分路を超えて、量子場理論のすべての解を捉えるためにどのように一般化可能か？
• RQ2 $\mathsf{SL}(2,\mathbb{C})$ でパラメータ化された複素積分サイクルが、異なる量子位相および物理的状態を定義する上で果たす役割は何か？
• RQ3 積分路および結合定数を変化させたとき、『理論の空間』におけるストークスの現象および壁越え現象はどのように生じるか？
• RQ4 経路積分をメリン・バーンズ変換として表現することで、量子理論の解析的構造はどのように明らかになるか？
• RQ5 Dp-brane および境界条件は、積分サイクルの幾何学的性質および作用素の拡張によってどのように符号化されるか？

主な発見

• 経路積分は、$\tau \in \mathsf{SL}(2,\mathbb{C})$ である複素積分サイクル $\mathcal{C}_{\tau}^{\Sigma}$ に一般化可能であり、シンプレクティック構造を保ち、フーリエ変換を一般化する。
• 異なる積分サイクルは、モノドロミーおよびストークスの現象がそれらの間の遷移を示す、異なる量子位相に対応する。
• 経路積分は線形正準変換に等しく、正準変換に対して不変であり、標準的量子化を一般化する。
• 経路積分はメリン・バーンズ変換として表現可能であり、作用の特異性構造と解析的性質が、量子化手続きの中心的役割を果たす。
• シュヴィンガー＝ダイソン作用素の自己共役拡張は、境界条件のモノドロミーによって分類され、これはDp-brane配置および物理的状態の選択に対応する。
• $J$-拡張（$\mathcal{PT}$-対称量子力学を含む）の使用により、内積が一般化され、非エルミート的でも物理的に整合性のある理論が可能になる。