[논문 리뷰] Complexity for one-dimensional discrete time quantum walk circuits

Aranya Bhattacharya, Himanshu Sahu외 2명|arXiv (Cornell University)|2023. 07. 25.

Quantum Computing Algorithms and ArchitectureComputer Science참고 문헌 43인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 1차원 이산 시간 양자 산책(DTQW)의 Nielsen 복잡도를 분석하기 위해 코인 큐비트의 혼합 상태를 두 큐비트의 순수 상태로 캐논적으로 순수화한 후, 유니터리 진화의 복잡도를 계산한다. 결과적으로 단계별 복잡도는 시간에 따라 선형적으로 증가하는 반면, 직접 복잡도는 평균 깊이를 중심으로 진동함을 확인하여, 양자 산책 역학에서 회로 깊이와 지측 복잡도 사이의 핵심적 차이를 드러낸다.

ABSTRACT

We compute the complexity for the mixed state density operator derived from a one-dimensional discrete-time quantum walk (DTQW). The complexity is computed using a two-qubit quantum circuit obtained from canonically purifying the mixed state. We demonstrate that the Nielson complexity for the unitary evolution oscillates around a mean circuit depth of $k$. Further, the complexity of the step-wise evolution operator grows cumulatively and linearly with the steps. From a quantum circuit perspective, this implies a succession of circuits of (near) constant depth to be applied to reach the final state.

연구 동기 및 목표

• 이산 시간 양자 산책에서 Nielsen의 양자 복잡도와 실제 양자 회로 깊이 사이의 관계를 탐색하기 위해.
• 직접 복잡도와 단계별 복잡도 접근 방식을 비교하여 Nielsen 복잡도를 물리적 양자 회로에 매핑할 때의 애매함을 해결하기 위해.
• 단계별 복잡도가 증가하는 회로 크기를 반영하는 반면, 직접 복잡도는 평균 깊이를 중심으로 진동하는 것을 보여주기 위해.
• 단계별 유니터리 응답에서 시간에 따라 변하는 효과적 해밀토니안을 구성하기 위한 프레임워크를 제공하기 위해.

제안 방법

• 유니터리 변환을 사용하여 DTQW의 코인 큐비트 혼합 상태 밀도 행렬을 두 큐비트 순수 상태로 캐논적으로 순수화하기.
• 직접 및 단계별 진화 경로에 대해 유니터리 공간 내 지측 길이를 통해 Nielsen 복잡도를 계산하기.
• k-국소 연산자(k=1,2,3)에 대해 지측 방정식을 풀어 유니터리 진화 궤적을 구성하기.
• 단계별 유니터리 진화를 사용하여 $ H(n) = -i \ln[U_n'] $를 통해 시간에 따라 변하는 반응 함수와 효과적 해밀토니안 유도하기.
• 1-큐비트 및 2-큐비트 게이트를 포함한 개략적 양자 회로를 구현하여 단계별 진화를 실현하고, 깊이가 일정함을 보여주기.
• 회로에서의 평균 복잡도를 직접 복잡도에서 관측된 진동 행동과 연결하기.

Figure 1: Comparing the direct and step-wise evolution from an initial state $|\Psi_{I}\rangle$ to $|\Psi_{F}\rangle$ .

실험 결과

연구 질문

• RQ1 1D DTQW에서 직접 진화와 단계별 진화 방식으로 계산된 Nielsen 복잡도의 행동은 어떻게 되는가?
• RQ2 양자 산책 구현에서 회로 깊이와 Nielsen 복잡도 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ3 단계별 유니터리 진화는 산책의 진동을 반영하는 물리적으로 의미 있는 시간에 따라 변하는 해밀토니안을 생성할 수 있는가?
• RQ4 왜 직접 복잡도는 진동하는 반면, 단계별 복잡도는 시간에 따라 선형적으로 증가하는가?
• RQ5 지측 복잡도를 물리적으로 일관된 방식으로 실제 양자 회로 컴파일에 매핑할 수 있는가?

주요 결과

• 단계별 Nielsen 복잡도는 단계 수에 따라 선형적으로 증가하여 누적된 회로 크기의 증가를 나타낸다.
• 직접 복잡도는 국소성(k)에 따라 달라지는 평균 깊이를 중심으로 진동함을 확인하여, 산책 진화 과정에서 내재된 무작위성이 있음을 시사한다.
• 직접 복잡도의 진동 행동은 산책이 단조로운 복잡도 증가를 보이지 않으며, 회로 깊이와는 다르게 행동함을 의미한다.
• 단계별 진화를 위한 개략적 양자 회로는 깊이가 일정하며, 이는 단계별 경로에서 관측된 평균 복잡도와 일치한다.
• 단계별 유니터리 진화를 통해 $ H(n) = -i \ln[U_n'] $를 통해 시간에 따라 변하는 효과적 해밀토니안을 재구성할 수 있으며, 각 타임스텝에서의 게이트 반응 분석이 가능해진다.
• 직접 복잡도와 단계별 복잡도 사이의 차이는 지측 복잡도와 실질적 회로 복잡도 사이의 근본적인 불일치를 드러내며, 특히 힐버트 공간 차원이 증가하는 시스템에서 두드러진다.

Figure 2: Entanglement of purification (EoP) with steps for canonical purification.