[論文レビュー] Computation Of Some Zamolodchikov Volumes, With An Application

Gregory W. Moore|arXiv (Cornell University)|Aug 23, 2015

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 29被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、K3、T4、およびそれらの対称積を標的空間とする2次元 conformal field theories (CFT) のmoduli spaceのZamolodchikov体積を、Narain moduli space技術とモックモジュラー形式を用いて計算する。CFTの系列が弱い結合性を持つ重力的 holographic dualを持つことはほとんどありえず、partition functionの漸近的解析により測度ゼロの結果を確立する。

ABSTRACT

We compute the Zamolodchikov volumes of some moduli spaces of conformal field theories with target spaces K3, T4, and their symmetric products. As an application we argue that sequences of conformal field theories, built from products of such symmetric products, almost never have a holographic dual with weakly coupled gravity.

研究の動機と目的

• 2次元CFTの標的空間がK3、T4、およびそれらの対称積である場合のmoduli spaceのZamolodchikov体積を計算すること。
• このようなCFTの系列が弱い結合性を持つ重力的 holographic dualを持つ統計的確率を分析すること。
• partition functionの漸近的挙動を用いて、[5]での測度ゼロの議論を対称積CFTに拡張すること。
• Zamolodchikov体積の有限性と、一般の場合におけるholographic dualの不在との明確な関係を確立すること。

提案手法

• 相関関数の(1,1)演算子から導かれる標準正規化を用いて、Narain moduli space上のZamolodchikov計量を計算する。
• 二重商構造 ${\cal N}_{r+8s,r} = O_{{\mathbb{Z}}}(Q_{r,s})\backslash O_{{\mathbb{R}}}(Q_{r,s}) / (O(r+8s) \times O(r))$ を用いてmoduli spaceをパrameter化する。
• ガウス型モデルに対して $ds^2_Z = \frac{1}{(2\pi)^2} \left( \frac{dK}{K} \right)^2$ の計量トレース公式を適用し、正規化を導出する。
• 対称積 $S^m X$ の楕円的生成関数のモックモジュラー形式および生成関数を用いて、極端な極係数を抽出する。
• partition function $\xi(s;M)/\xi(0;M) \sim (c\sqrt{M})^{-s\bar{k}(M)}$ の漸近的成長を分析し、$H_\ell(s)$ の挙動を特定する。
• X = K3 または T4 の場合に、$\sum_{j=0}^M p(j)p(M-j)$ のpartition和に対して鞍点近似を適用し、普遍的な漸近的スケーリングを正当化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 対称積CFT $S^m K3$ および $S^m T4$ のmoduli spaceのZamolodchikov体積は何か？
• RQ2 このようなCFTの一般的系列は、弱い結合性を持つ重力的 holographic dualを持つのか？
• RQ3 partition functionの漸近的成長は、holographic dualの存在とどのように関係するか？
• RQ4 holographic dualの測度ゼロの議論を、個々のCFTにとどまらず、対称積理論の集合へと拡張できるか？
• RQ5 モックモジュラー形式は、$S^m T4$ の極端な極係数を決定する上で果たす役割は何か？

主な発見

• Narain moduli space ${\cal N}_{2,2}$ のZamolodchikov体積は明示的に $\frac{4\pi^4}{9}$ として計算され、一般式を確認した。
• 対称積 $S^m T4$ の楕円的生成関数の極係数は $\mathfrak{e}(S^m T4) = m+1$ であり、生成関数の $q^0$ 項から導出された。
• X = K3 または T4 である対称積CFTにおいて、$\xi(s;M)/\xi(0;M)$ の漸近的挙動は $\sim (c\sqrt{M})^{-s\bar{k}(M)}$ とスケーリングされ、普遍的スケーリングを示している。
• 漸近的解析により、$H_\ell(s) = \chi(s)$ の極限が確立され、弱い結合性を持つholographic dualを持つCFTの系列の集合が測度ゼロであることが示された。
• この解析により、このようなCFTの系列がほとんど常に弱い結合性を持つ重力双対を持たないことが確認され、[5]の結果が対称積構成へと拡張された。
• $S^m K3$ および $S^m T4$ の体積計算は、moduli spaceの有限性およびholographic dual不能性の一般的枠組みと整合的である。