[论文解读] Computing bounded-width tree and branch decompositions of k-outerplanar graphs

Ioannis Katsikarelis|arXiv (Cornell University)|Jan 24, 2013

Advanced Graph Theory Research参考文献 15被引用 8

一句话总结

本文提出了在 O(kn) 时间内计算 k-outerplanar 图的树分解和枝分解的高效算法，其宽度有界：树宽至多为 3k−1，枝宽至多为 2k+1。该工作对 Bodlaender 的理论界进行了严谨的算法实现，使动态规划在平面图上的实际应用成为可能。

ABSTRACT

By a well known result the treewidth of k-outerplanar graphs is at most 3k-1. This paper gives, besides a rigorous proof of this fact, an algorithmic implementation of the proof, i.e. it is shown that, given a k-outerplanar graph G, a tree decomposition of G of width at most 3k-1 can be found in O(kn) time and space. Similarly, a branch decomposition of a k-outerplanar graph of width at most 2k+1 can be also obtained in O(kn) time, the algorithm for which is also analyzed.

研究动机与目标

• 为 Bodlaender 对 k-outerplanar 图树宽的理论上限提供严谨且可计算的实现。
• 设计一种线性时间算法，用于计算任意 k-outerplanar 图的树分解，其宽度至多为 3k−1。
• 将该方法扩展至在 O(n) 时间内计算宽度至多为 2k+1 的枝分解。
• 证明 k-outerplanar 图的树宽与枝宽的上界是紧致的。
• 通过提供高效的分解算法，使动态规划在 k-outerplanar 图上的实际应用成为可能。

提出的方法

• 利用 Bodlaender 的构造性证明，推导出 k-outerplanar 图树分解的算法过程。
• 通过输入图 G 的 3-度有界子图 H 的最大生成森林 T，计算边秩 er(G,T) ≤ 2k。
• 通过将生成森林转换为枝分解，确保其宽度有界于 max{2, er(G,T)+1}。
• 应用子图性质：若 G 是 H 的子图，则 branchwidth(G) ≤ branchwidth(H)，将 H 上的界传递至 G。
• 采用基于外平面层的递归分解策略，利用平面性与嵌入结构。
• 使用双射 σ 将图的边映射到二叉树的叶节点，以定义枝分解。

实验结果

研究问题

• RQ1 Bodlaender 对 k-outerplanar 图树宽的理论上限 3k−1 是否可实现为高效算法？
• RQ2 计算任意 k-outerplanar 图的树分解（宽度至多为 3k−1）的时间复杂度是多少？
• RQ3 是否可采用类似方法在 O(n) 时间内计算宽度至多为 2k+1 的枝分解？
• RQ4 k-outerplanar 图的树宽上界 3k−1 是否是紧致的？
• RQ5 能否通过 k-outerplanar 分解将该算法扩展至一般平面图？

主要发现

• O(kn)-时间算法可为任意 k-outerplanar 图计算出宽度至多为 3k−1 的树分解。
• O(n)-时间算法可为任意 k-outerplanar 图计算出宽度至多为 2k+1 的枝分解。
• k-outerplanar 圖的樹寬上界 3k−1 是緊致的，因為存在達到此界之 k-outerplanar 圖。
• k-outerplanar 圖的枝寬上界 2k+1 是緊致的，且可透過所提算法達成。
• 該分解的算法構造依賴於輸入圖 G 的 3-度有界子圖 H，且對某個最大生成森林 T 滿足 er(H,T) ≤ 2k。
• G 的枝寬受其子圖 H 的枝寬約束，且該算法確保此界至多為 2k+1。