[论文解读] Computing Optimal Assignments in Linear Time for Approximate Graph Matching

Pierre-Louis Giscard, Nils M. Kriege+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 29, 2019

Graph Theory and Algorithms参考文献 44被引用 8

一句话总结

该论文提出了一种线性时间算法，用于在代价函数为树距离时计算最优分配，从而实现图编辑距离的高效近似。通过利用离散和连续顶点标签的树度量，该方法在显著降低运行时间的同时实现了接近最优的性能，相比传统的立方时间匈牙利算法具有显著优势。

ABSTRACT

Finding an optimal assignment between two sets of objects is a fundamental problem arising in many applications, including the matching of `bag-of-words' representations in natural language processing and computer vision. Solving the assignment problem typically requires cubic time and its pairwise computation is expensive on large datasets. In this paper, we develop an algorithm which can find an optimal assignment in linear time when the cost function between objects is represented by a tree distance. We employ the method to approximate the edit distance between two graphs by matching their vertices in linear time. To this end, we propose two tree distances, the first of which reflects discrete and structural differences between vertices, and the second of which can be used to compare continuous labels. We verify the effectiveness and efficiency of our methods using synthetic and real-world datasets.

研究动机与目标

• 解决图匹配中最优分配的计算瓶颈问题，通常需要 O(n³) 时间。
• 在特定代价函数下，开发一种在 O(n) 时间内计算最优分配的方法。
• 使最优分配在大规模图比较任务中具有实际应用价值。
• 设计基于树的度量，以捕捉图中结构差异和连续标签差异。
• 提供一种可扩展的替代方案，用于精确图编辑距离计算，因为该问题为 NP-难问题。

提出的方法

• 使用树距离度量表示图顶点之间的代价，通过树上的动态规划实现线性时间最优分配。
• 引入两种树距离函数：一种用于顶点之间的离散结构差异，另一种用于连续标签。
• 通过线性时间顶点匹配，将树距离应用于图编辑距离的近似计算。
• 使用 Weisfeiler-Lehman 子树核生成图的树状结构表示，用于代价计算。
• 将最优分配代价嵌入 ℓ₁ 空间，以支持图数据库中高效的最近邻搜索。
• 利用树度量允许通过树上的动态规划高效计算最小代价分配的特性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当代价函数为树距离时，能否在 O(n) 时间内计算最优分配？
• RQ2 在真实世界和合成数据集上，所提出方法对精确图编辑距离的近似程度如何？
• RQ3 使用基于树的代价与精确或贪心方法相比，在准确率与运行时间之间存在何种权衡？
• RQ4 树距离能否有效建模图匹配中离散和连续的顶点标签？
• RQ5 该线性时间方法在基于图的机器学习任务中是否保持具有竞争力的分类准确率？

主要发现

• 当代价由树距离导出时，所提方法以 O(n) 时间计算最优分配，相比标准的 O(n³) 匈牙利算法有显著提升。
• 在 Mutagenicity 数据集上，Linear 方法的分类准确率达到 81.5%，高于 BP（78.1%）、Greedy（79.2%）和 GraphHopper（73.5%）。
• 在 Letter 数据集上，Linear 方法在低失真设置下表现匹配或略优于其他方法，分类准确率分别为 98.8%（Letter L）和 93.6%（Letter M）。
• 运行时间表现显著优越：在 NCI1 数据集上，Linear 方法平均仅用 13 秒完成，而精确方法在困难实例上运行 100 秒后仍超时。
• 该方法在高编辑距离对上与精确图编辑距离出现明显偏离，但在最近邻分类任务中未导致性能下降。
• Weisfeiler-Lehman 树表示相比 BP 更好地利用了图结构，从而在分子数据集上实现了更高的准确率。