[论文解读] Computing the Gromov-Hausdorff Distance for Metric Trees

Pankaj K. Agarwal, Kyle Fox+3 more|arXiv (Cornell University)|Sep 18, 2015

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 13被引用 7

一句话总结

该论文首次建立了度量树之间Gromov-Hausdorff（GH）距离近似问题的NP难性结果，证明其难以在3倍因子以内近似。论文提出了一个时间复杂度为$O(\min\{n,\sqrt{rn}\})$的多项式时间近似算法来计算GH距离，其中$r$为最长边与最短边长度之比，对于单位边长的树，该算法可实现$O(\sqrt{n})$-近似。

ABSTRACT

The Gromov-Hausdorff (GH) distance is a natural way to measure distance between two metric spaces. We prove that it is $\mathrm{NP}$-hard to approximate the Gromov-Hausdorff distance better than a factor of $3$ for geodesic metrics on a pair of trees. We complement this result by providing a polynomial time $O(\min\{n, \sqrt{rn}\})$-approximation algorithm for computing the GH distance between a pair of metric trees, where $r$ is the ratio of the longest edge length in both trees to the shortest edge length. For metric trees with unit length edges, this yields an $O(\sqrt{n})$-approximation algorithm.

研究动机与目标

• 建立度量树之间Gromov-Hausdorff距离近似的计算困难性。
• 设计首个用于计算度量树上GH距离的多项式时间近似算法。
• 弥合该问题近似因子的最优已知下界与上界之间的差距。
• 利用Gromov-Hausdorff距离与合并树的交错距离之间的关系，设计高效的近似算法。
• 以边长比$r$和节点数$n$为参数，分析近似比。

提出的方法

• 通过从3-Partition问题归约，证明在小于3倍因子内近似GH距离为NP难。
• 将度量树之间GH距离的计算问题归约为其关联合并树之间交错距离的计算问题。
• 通过修剪小边构造合并树的简化版本，同时保持其结构特性。
• 采用参数化方法，设定阈值$\varepsilon$，在合并树之间计算$O(\min\{n,\sqrt{rn}\})$-兼容映射。
• 在简化树上应用动态规划或同构性检测过程，以有界失真计算兼容映射。
• 结合交错距离的已知结果与GH距离之间的关系，推导出最终的近似保证。

实验结果

研究问题

• RQ1 度量树之间的Gromov-Hausdorff距离是否在常数因子内近似为NP难？
• RQ2 能否为度量树上的GH距离设计多项式时间近似算法，其近似因子是多少？
• RQ3 最长边与最短边长度之比$r$如何影响近似质量？
• RQ4 Gromov-Hausdorff距离与合并树的交错距离之间存在何种关系？
• RQ5 近似因子能否优于$O(\min\{n,\sqrt{rn}\})$？

主要发现

• 度量树之间的Gromov-Hausdorff距离难以在优于3倍因子内近似。
• 本文提出了一种$O(\min\{n,\sqrt{rn}\})$-近似算法，用于计算度量树之间的GH距离，其中$r$为最长边与最短边长度之比。
• 对于单位边长的度量树，该算法在多项式时间内实现$O(\sqrt{n})$-近似。
• 该算法的时间复杂度为$O(n^{7/2}\log n)$，基于将问题归约为合并树之间的交错距离。
• 通过构造$4(\sqrt{2ns}+1)\varepsilon$-兼容映射，交错距离在$O(\min\{n,\sqrt{rn}\})$范围内被近似。
• 近似比在常数因子内是紧的，且最优已知下界与上界之间的差距仍为多项式量级。