[論文レビュー] Conchoidal transform of two curves

Alberto Albano, Margherita Roggero|arXiv (Cornell University)|May 20, 2009

Advanced Numerical Analysis Techniques参考文献 1被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、古典的なコンコイドの構成を、固定された円と平面曲線の組み合わせから、射影平面上の任意の2曲線の組み合わせへ一般化する。代数幾何学的道具（結果式やインシデント対応）を用い、一般のコンコイドが既約であること、その次数と genus を示し、古典的状況における既約性の基準と曲線再構成の手法を提示する。

ABSTRACT

The conchoid of a plane curve C is constructed using a fixed circle B in the affine plane. We generalize the classical definition so that we obtain a conchoid from any pair of curves B and C in the projective plane. We present two definitions, one purely algebraic through resultants and a more geometric one using an incidence correspondence in P 2 × P 2. We prove, among other things, that the generic conchoid is irreducible, we determine its singularities and give a formula for its degree and genus. In the final section we return to the classical case: for all curves C we give a criterion for its conchoid to be irreducible and we give a procedure to determine when a curve is the conchoid of another. 1

研究の動機と目的

• 古典的なコンコイド構成（元来、固定された円と平面曲線を用いて定義されていたもの）を、射影平面上の任意の2曲線のペアへ拡張すること。
• 一般化されたコンコイドの2つの同等な定義を提示する：1つは結果式による代数的定義、もう1つは P² × P² におけるインシデント対応による幾何的定義。
• コンコイドの代数的不変量（次数、genus、既約性条件）を同定すること。
• 古典的コンコイド状況に戻すために、既約性の基準を確立し、ある曲線が別の曲線のコンコイドであるかどうかを判定する手続きを提示すること。

提案手法

• P² × P² におけるインシデント対応を用いて一般化されたコンコイドを定義し、B と C の交点を通る固定距離の点の軌跡を幾何学的にモデル化する。
• パラメータを消去するために結果式を用いて代数的にコンコイド曲線の陰伏方程式を導出する。
• 局所環解析や多重度計算を含む代数幾何学的技法を用いてコンコイドの特異点を分析する。
• 定義多項式が関数体の代数的閉包上で既約であることを示すことにより、一般のコンコイドが既約であることを証明する。
• B と C の次数に基づいたコンコイドの次数に関する一般式を導出し、Plücker の公式を用いてその genus を計算する。
• 一般理論を古典的状況に適用し、明示的な既約性基準を提示するとともに、与えられた曲線が別の曲線のコンコイドであるかどうかを判定する手続きを提示する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般の射影的設定において、2曲線のコンコイドがどのような条件下で既約になるか。
• RQ2 生成曲線 B と C の次数と幾何的性質から、コンコイドの次数と genus をどのように計算できるか。
• RQ3 P² × P² におけるインシデント対応によって定義されたコンコイドの、正確な代数的・幾何的構造は何か。
• RQ4 古典的コンコイド設定において、曲線 C のコンコイドが既約であるかどうかを決定する基準は何か。
• RQ5 与えられた曲線が別の曲線のコンコイドであるかどうかを決定するアルゴリズム的手順は存在するか。

主な発見

• 一般位置にある2曲線から構成される一般のコンコイドは、既約である。
• 生成曲線 B と C の次数およびそれらの交差挙動に基づいた、コンコイドの次数に関する公式が導出された。
• Singularity の補正を加えた Plücker の公式を用いて、コンコイドの genus が計算された。
• コンコイドの特異点が明示的に記述され、それらが B と C の基本点および接線的交点に起因することを示した。
• 古典的状況では、C と固定円 B の次数および交差性質に基づいた、コンコイドの既約性に関する基準が与えられた。
• 与えられた曲線が別の曲線のコンコイドであるかどうかを判定する手続きが確立され、代数的不変量と幾何的制約に基づいている。