[论文解读] Conjectures and results on $x^2$ mod $p^2$ with $4p=x^2+dy^2$

Zhi‐Wei Sun|arXiv (Cornell University)|Mar 22, 2011

Analytic Number Theory Research参考文献 22被引用 7

一句话总结

本文提出了涉及中心二项式系数和多项式 $f_k^+(x)$ 的截断超几何型和在模 $p^2$ 下的猜想同余式，将其值与特定 $d$ 下的素数表示 $4p = x^2 + dy^2$ 联系起来。通过组合恒等式、$p$-进分析以及与类数为一的虚二次域的联系，作者推导出依赖于 $p$ 的算术性质及二次型中相关 $x, y$ 的模 $p^2$ 和的显式公式，并验证了若干情形，同时导出了 $1/\pi$ 的无穷级数。

ABSTRACT

Given a squarefree positive integer $d$, we want to find integers (or rational numbers with denominators not divisible by large primes) $a_0,a_1,a_2,\ldots$ such that for sufficiently large primes $p$ we have $\sum_{k=0}^{p-1}a_k\equiv x^2-2p$ (mod $p^2$) if $4p=x^2+dy^2$ (and $4 mid x$ if $d=1$), and $\sum_{k=0}^{p-1}a_k\equiv 0$ (mod $p^2$) if $(\frac{-d}p)=-1$. In this paper we give a survey of conjectures and results on this topic and point out the connection between this problem and series for $1/π$.

研究动机与目标

• 建立形如 $\sum_{k=0}^{p-1} \frac{\binom{2k}{k} f_k^+(x)}{m^k}$ 的和在模 $p^2$ 下的猜想同余式，其中 $f_k^+(x)$ 是与超几何项相关的对称多项式。
• 将这些和的值与素数 $p$ 表示为 $4p = x^2 + dy^2$ 的形式（$d$ 无平方因子）相联系，尤其针对 $d \in \{1,2,3,7,11,19,43,67,163\}$ 的情形。
• 通过 $p$-进方法和特征和，特别是类数为一的虚二次域的背景下，推广已知的中心二项式系数和模 $p^2$ 的结果。
• 通过猜想同余式为 $1/\pi$ 提供证据并推导新的无穷级数，使其与已知的拉马努金型恒等式一致。
• 通过连接代数数论与超几何级数的框架，统一并推广此前关于模 $p^2$ 二项式和的结果。

提出的方法

• 使用 Gross-Koblitz 公式和 $p$-进 Gamma 函数，分析 $p$-进同余式背景下的 Gauss 和 Jacobi 和。
• 运用组合恒等式，包括 $\binom{n+k}{2k} \equiv \frac{\binom{2k}{k}}{(-16)^k} \pmod{p^2}$，将 Delannoy 数与超几何和联系起来。
• 应用勒让德多项式和生成函数，推导涉及 $\binom{2k}{k}^2 / m^k$ 的和的同余式。
• 利用特征和与 Jacobi 和，将 $p$ 的算术性质（通过勒让德符号）与和的结构联系起来。
• 构建对称多项式 $f_k^+(x)$ 和 $T_k^2(a,b)$，以推广中心二项式系数和，并将其与二次型联系起来。
• 通过计算证据和与已知 $1/\pi$ 级数的比较（包括系数匹配与模形式），验证猜想同余式。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将模 $p^2$ 的超几何型和表示为无平方因子 $d$ 下的表示 $4p = x^2 + dy^2$？
• RQ2 和 $\sum_{k=0}^{p-1} \frac{\binom{2k}{k} f_k^+(x)}{m^k} \mod p^2$ 的值与 $\mathbb{Q}(\sqrt{-d})$ 的类群结构之间的确切关系是什么？
• RQ3 能否从涉及 $f_k^+(x)$ 和 $T_k^2(a,b)$ 的猜想 $p^2$-同余式中推导出新的拉马努金型 $1/\pi$ 级数？
• RQ4 同余式中的符号和系数如何依赖于勒让德符号 $\left(\frac{-1}{p}\right)$、$\left(\frac{p}{d}\right)$ 和 $\left(\frac{d}{p}\right)$？
• RQ5 多项式 $f_k^+(x)$ 在推广中心二项式系数和并将其与模形式及复乘联系起来的过程中起什么作用？

主要发现

• 对于 $p > 3$ 的素数，若 $p = x^2 + 13y^2$ 且 $\left(\frac{-1}{p}\right) = \left(\frac{p}{13}\right) = 1$，则有 $\sum_{k=0}^{p-1} \frac{\binom{2k}{k} f_k^+(9)}{144^k} \equiv 4x^2 - 2p \pmod{p^2}$，其他情形亦有类似结果。
• 和 $\sum_{k=0}^{p-1} \frac{65k + 22}{144^k} \binom{2k}{k} f_k^+(9) \equiv 22p \pmod{p^2}$，提供了一个具有常数项的线性同余式。
• 对于 $d = 21$，当 $p = x^2 + 21y^2$ 且 $\left(\frac{-1}{p}\right) = \left(\frac{p}{3}\right) = \left(\frac{p}{7}\right) = 1$ 时，有 $\sum_{k=0}^{p-1} \frac{\binom{2k}{k} f_k^+(-7)}{16^k} \equiv 4x^2 - 2p \pmod{p^2}$。
• 和 $\sum_{k=0}^{p-1} \frac{8851815k + 1356374}{(-29584)^k} \binom{2k}{k} f_k^+(175) \equiv p(1300495\left(\frac{p}{7}\right) + 55879) \pmod{p^2}$，其匹配的无穷级数为 $\sum_{k=0}^\infty = \frac{1349770\sqrt{7}}{\pi}$。
• 和 $\sum_{k=0}^{p-1} \frac{312k + 91}{1300^k} \binom{2k}{k} T_k^2(13,13) \equiv 91p \pmod{p^2}$，证实了基于 $T_k^2$ 的和的线性同余式。
• 当 $m = 144$，$x = 9$，$d = 13$ 时，若 $2p = x^2 + 13y^2$ 且 $\left(\frac{-1}{p}\right) = \left(\frac{p}{13}\right) = -1$，则有 $\sum_{k=0}^{p-1} \frac{\binom{2k}{k} f_k^+(9)}{144^k} \equiv 2x^2 - 2p \pmod{p^2}$。