[论文解读] Connecting Width and Structure in Knowledge Compilation (Extended Version)

Antoine Amarilli, Mikaël Monet+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 18, 2017

Machine Learning and Algorithms参考文献 40被引用 6

一句话总结

本文提出了一种线性时间算法，将布尔电路编译为有界树宽的确定性、结构化DNNF（d-SDNNF），利用树分解和MSO逻辑。关键贡献在于一种保持电路等价性的同时确保可 tractable 查询评估的构造方法，时间复杂度为 $ O(|T| \times 2^{(4+\varepsilon)k}) $，其中 $ \varepsilon > 0 $，$ k $ 为树宽。

ABSTRACT

Several query evaluation tasks can be done via knowledge compilation: the query result is compiled as a lineage circuit from which the answer can be determined. For such tasks, it is important to leverage some width parameters of the circuit, such as bounded treewidth or pathwidth, to convert the circuit to structured classes, e.g., deterministic structured NNFs (d-SDNNFs) or OBDDs. In this work, we show how to connect the width of circuits to the size of their structured representation, through upper and lower bounds. For the upper bound, we show how bounded-treewidth circuits can be converted to a d-SDNNF, in time linear in the circuit size. Our bound, unlike existing results, is constructive and only singly exponential in the treewidth. We show a related lower bound on monotone DNF or CNF formulas, assuming a constant bound on the arity (size of clauses) and degree (number of occurrences of each variable). Specifically, any d-SDNNF (resp., SDNNF) for such a DNF (resp., CNF) must be of exponential size in its treewidth; and the same holds for pathwidth when compiling to OBDDs. Our lower bounds, in contrast with most previous work, apply to any formula of this class, not just a well-chosen family. Hence, for our language of DNF and CNF, pathwidth and treewidth respectively characterize the efficiency of compiling to OBDDs and (d-)SDNNFs, that is, compilation is singly exponential in the width parameter. We conclude by applying our lower bound results to the task of query evaluation.

研究动机与目标

• 开发一种将布尔电路编译为确定性、结构化DNNF（d-SDNNF）的方法，同时保持电路语义。
• 确保在给定有界树宽的前提下，编译过程相对于输入电路规模呈线性时间复杂度。
• 建立树分解宽度与知识编译电路结构特性之间的联系。
• 通过可 tractable 表示，实现在编译后电路上高效的概率推理与查询评估。

提出的方法

• 通过链式替换将任意树分解转换为二叉、满且规范的形式，同时保持宽度与结构。
• 通过将规范树分解中的每个节点映射到v-tree中的对应节点，为结果d-SDNNF构建v-tree。
• 定义一个签名 $\sigma$，将电路编码为关系实例，其中包含门类型、连线和真值赋值的关系。
• 构建一个MSO公式 $\varphi$，通过存在性地猜测满足门语义的真值门集合，来检查在给定赋值下的电路评估结果。
• 利用已知结果，线性时间计算出捕捉 $\varphi$ 在关系实例上本体的d-SDNNF $C'$。
• 修改 $C'$ 以固定非真值事实的输入值，得到 $C''$，其与原始电路等价且仍为d-SDNNF。

实验结果

研究问题

• RQ1 在给定有界树宽的前提下，布尔电路能否在与电路规模线性相关的运行时间内编译为d-SDNNF？
• RQ2 如何利用树分解宽度来确保d-SDNNF的结构特性（如确定性与可分解性）？
• RQ3 在超图中，路径宽、度数与路径结构宽之间存在何种关系，其对电路编译有何影响？
• RQ4 是否可能在保持原始电路与编译后d-SDNNF等价性的同时，实现高效的概率推理？

主要发现

• 本文提出了一种线性时间算法，可将任意布尔电路编译为等价的d-SDNNF，时间复杂度为 $ O(|T| \times 2^{(4+\varepsilon)k}) $，其中 $ \varepsilon > 0 $，$ k $ 为电路树分解的树宽。
• 该构造确保生成的d-SDNNF具有确定性与结构性，其v-tree由规范树分解导出。
• 该方法保持了电路语义：当且仅当原始电路 $ C $ 在赋值 $ \nu $ 下评估为真时，$ C'' $ 也在 $ \nu $ 下评估为真。
• 该算法在整个变换过程中（包括二叉化、规范化与满性强制）保持了原始树分解的宽度。
• 证明表明，每个节点引入的门数被限制在 $ 2^{O(k)} $ 以内，从而确保树宽的指数依赖最小化。
• 本文证明了 $ \mathrm{psw}(H) \leq \mathrm{degree}(H) \times (\mathrm{pw}(H) + 1) $，为超图中的路径-结构宽提供了有用的上界。