[論文レビュー] Connectivity properties of group actions on non-positively curved spaces I: Controlled connectivity and openness results

Robert Bieri, Ross Geoghegan|ArXiv.org|Nov 3, 1998

Geometric and Algebraic Topology参考文献 18被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、CAT(0)空間への群作用における新しい制御された位相不変量を導入し、cocompact等長作用および離散軌道とF_n-点安定化部分群をもつcocompact作用が、すべての等長群作用の空間において開集合をなすことを確立している。主な貢献は、特に軌道が離散である場合に、幾何学的群論における馴染み深い有限性性質を一般化する、新しい位相的枠組みを提供することにある。

ABSTRACT

Let G be a group and let M be a CAT(0) proper metric space (e.g. a simply connected complete Riemannian manifold of non-positive sectional curvature or a locally finite tree). Isometric actions of G on M are (by definition) points in the space R := Hom(G, Isom(M)) with the compact open topology. Sample theorems: 1. The cocompact actions form an open subset of R. 2. The cocompact actions with discrete orbits whose point-stabilizers have type F_n form an open subset of the subspace of R consisting of all actions with discrete orbits. (F_1 means finitely generated, F_2 means finitely presented etc.) The key idea is to introduce a new "controlled topology" invariant of such actions - dependent on n - which is unfamiliar when the orbits are not discrete but which becomes familiar (cf 2.) when the orbits are discrete. (This is the first of two papers.)

研究の動機と目的

• 非正曲率空間への等長群作用のための制御された位相不変量を構築すること。
• CAT(0)完備距離空間への等長群作用の空間の位相的構造を分析すること。
• cocompact作用および離散軌道とF_n-点安定化部分群をもつ作用の開性を確立すること。
• 群作用が非正曲率空間に作用する文脈において、有限性性質（F_n）を一般化すること。
• 特に離散軌道の場合に、群作用を制御された位相を用いて研究するための基礎的道具を構築すること。

提案手法

• 群作用がCAT(0)空間に作用する文脈に特化した、nに依存する新しい制御された位相不変量を導入すること。
• 空間R = Hom(G, Isom(M))にコンパクト・オーディナリー位相を導入し、作用タイプの収束性と開性を調べること。
• cocompact作用をRの部分集合として取り上げ、制御された連結性を用いてその開性を証明すること。
• 離散軌道とF_n-点安定化部分群をもつ作用に焦点を当て、離散軌道作用の部分空間内でその開性を示すこと。
• 完全で単連結なリーマン多様体や局所有限な木などの、CAT(0)空間の幾何的性質を活用し、適切な位相的挙動を保証すること。
• 幾何学的群論およびホモトピー論の技術を応用し、制御された不変量が古典的な有限性性質（F_1, F_2など）とどのように関係するかを明らかにすること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 CAT(0)空間へのすべての等長作用の空間において、cocompact等長群作用の空間がいつ開集合となるか。
• RQ2 非正曲率空間への群作用に対して、有限性性質を捉えるために、どのように制御された位相不変量を定義できるか。
• RQ3 離散軌道とF_n-点安定化部分群をもつ作用の、すべてのsuch作用の空間における位相的構造はいかなるものか。
• RQ4 制御された不変量は、F_1（有限生成）やF_2（有限提示）といった古典的な有限性性質とどのように関係するか。
• RQ5 軌道が離散である場合に、制御された位相は群作用の挙動をどのように簡素化または明確化するか。

主な発見

• CAT(0)完備距離空間へのcocompact等長群作用の集合は、コンパクト・オーディナリー位相のもとで、空間R = Hom(G, Isom(M))において開集合をなす。
• 離散軌道と点安定化部分群がF_n型である作用の集合は、すべての離散軌道作用の部分空間内で開集合をなす。
• 新しい制御された位相不変量が導入され、軌道が離散である場合には、それが既知の（すなわち、標準的なF_n性質と同値な）性質に一致する。
• 制御された不変量は、非正曲率空間への群作用の文脈における有限性性質を統合的に理解するための枠組みを提供する。
• 結果として、幾何学的群論における群作用の変形空間を研究する上で不可欠な基礎的な開性定理が確立された。
• この枠組みは、非正曲率の完全で単連結なリーマン多様体や局所有限な木を含む、さまざまなCAT(0)空間に適用可能である。