[論文レビュー] Constant curvature foliations on asymptotically hyperbolic spaces

Rafe Mazzeo, Frank Pacard|ArXiv.org|Oct 11, 2007

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 15被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、漸近的に双曲的多様体の共形的無限遠における半線形楕円型方程式と、無限遠付近のWeingarten foliationの間の対応関係を確立し、特徴的な幾何的条件のもとで、準Fuchs型3次元多様体における一定ガウス曲率foliationの存在および一意性を、共形幾何学および曲率作用素への陰関数定理の適用によって証明する。

ABSTRACT

Let $(M,g)$ be an asymptotically hyperbolic manifold with a smooth conformal compactification. We establish a general correspondence between semilinear elliptic equations of scalar curvature type on $\del M$ and Weingarten foliations in some neighbourhood of infinity in $M$. We focus mostly on foliations where each leaf has constant mean curvature, though our results apply equally well to foliations where the leaves have constant $σ_k$-curvature. In particular, we prove the existence of a unique foliation near infinity in any quasi-Fuchsian 3-manifold by surfaces with constant Gauss curvature. There is a subtle interplay between the precise terms in the expansion for $g$ and various properties of the foliation. Unlike other recent works in this area, by Rigger \cite{Ri} and Neves-Tian \cite{NT1}, \cite{NT2}, we work in the context of conformally compact spaces, which are more general than perturbations of the AdS-Schwarzschild space, but we do assume a nondegeneracy condition.

研究の動機と目的

• 漸近的に双曲的多様体の内部におけるWeingarten foliationと、その無限遠境界におけるスカラー曲率型楕円型方程式との間の一般対応関係を確立すること。
• 一定平均曲率（CMC）foliationの存在および一意性を、一定 $\sigma_k$-曲率やガウス曲率を含むより一般的な曲率条件へと拡張すること。
• 従来のAdS-Schwarzschild空間の摂動に関する結果を一般化する、共形的コンパクト多様体のより広いクラスに拡張すること。
• 任意の準Fuchs型3次元多様体において、無限遠付近に一意な一定ガウス曲率の曲面によるfoliationが存在することを証明すること。
• 計量の漸近的展開とfoliationの幾何的性質との相互作用を、非退化性および曲率条件の下で分析すること。

提案手法

• 共形的コンパクト化を用いて、無限遠付近の等高面の幾何学を境界 $\partial M$ 上の共形構造に関連付ける。
• Graham-Lee対応を用いて、特別な定義関数 $x$ を導入し、平均曲率が制御された等高面に対応させる。
• 一定 $\sigma_k$-曲率foliationを求める問題を、境界の共形類における完全非線形楕円型偏微分方程式（PDE）として定式化する。
• 曲率作用素 $\mathcal{N}_k(\phi_0, \varepsilon)$ に陰関数定理を適用し、ニュートンの恒等式およびトレースの公式を用いて線形化を分析する。
• $\sigma_k$ の線形化をニュートン多項式 $T_{k-1}(B)$ を用いて行い、作用素の主要部を $\binom{n-1}{k-1}(\Delta_{h_0} + \frac{R_{h_0}}{n-1})$ として導出する。
• スカラー曲率 $R_{h_0}$ が負（正の場合には非退化性）である条件の下で、線形化作用素の可逆性を確立し、陰関数定理による解の存在を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 漸近的に双曲的多様体の内部におけるWeingarten foliationと、共形的無限遠における楕円型PDEとの間で、一般対応関係を確立できるか？
• RQ2 どのような条件下で、準Fuchs型3次元多様体の無限遠付近に、一意な一定ガウス曲率曲面によるfoliationが存在するか？
• RQ3 計量 $g = \rho^{-2}\bar{g}$ の漸近的展開は、このようなfoliationの存在および一意性にどのように影響するか？
• RQ4 共形ラプラシアンの非退化性は、$\sigma_k$-曲率foliationの存在にどのような役割を果たすか？
• RQ5 CMC foliationに関する結果を、$\sigma_k$-曲率（$k=n$ の場合のガウス曲率を含む）を持つfoliationへとどの程度まで一般化できるか？

主な発見

• 任意の準Fuchs型3次元多様体において、各端点付近に一意な一定ガウス曲率曲面によるfoliationが存在する。
• 負のスカラー曲率を有する弱くPoincaré-Einsteinな場合、共形的無限遠で $R_{h_0} < 0$ であれば、すべての $k=1,\dots,n$ に対して一意な $\sigma_k$-曲率曲面によるfoliationが存在する。
• 共形的無限遠のスカラー曲率が正の場合、スカラー曲率が一定で、共形ラプラシアンが非退化であるような各 $h_0$ に対して、一意なfoliationが存在する。
• $\sigma_k$-曲率作用素の初期近似における線形化は $\binom{n-1}{k-1}(\Delta_{h_0} + \frac{R_{h_0}}{n-1})$ であり、$R_{h_0} < 0$ のとき可逆である。
• この手法は、定義関数の等高面の摂動に適用される陰関数定理に依拠しており、摂動パラメータ $\phi_0$ は $\partial M$ 上の非線形PDEを満たす。
• 第二基本形式および曲率作用素の漸近的展開を $\mathcal{O}(x^3)$ まで計算し、無限遠付近における曲率関数の精密な制御を可能にする。