[論文レビュー] Constructions of L$_{\infty}$ algebras and their field theory realizations

Olaf Hohm, Vladislav Kupriyanov+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 28, 2017

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ひとこと要約

この論文は、ヤコビ恒等式を満たさない任意の反対称括弧から L∞代数を構成し、ベクトル空間 V 上の任意のこのような括弧が、V ⊕ V* 上の 2-term L∞代数に拡張可能であることを証明する。ここで 3-括弧はヤコビエータを符号化する。主な貢献は、ヤコビエータが理想を定義する線形写像の像に値をとる場合、非自明な 3-term L∞代数が存在し、非ゼロの 4-括弧を持つことの一般定理を示したことである。これにより、真の場の理論実現が可能になる。具体例としてオクタニオン、R-フラックス代数、コルーティア代数が示されている。

ABSTRACT

We construct L$_{\infty}$ algebras for general `initial data' given by a vector space equipped with an antisymmetric bracket not necessarily satisfying the Jacobi identity. We prove that any such bracket can be extended to a 2-term L$_{\infty}$ algebra on a graded vector space of twice the dimension, with the 3-bracket being related to the Jacobiator. While these L$_{\infty}$ algebras always exist, they generally do not realize a non-trivial symmetry in a field theory. In order to define L$_{\infty}$ algebras with genuine field theory realizations, we prove the significantly more general theorem that if the Jacobiator takes values in the image of any linear map that defines an ideal there is a 3-term L$_{\infty}$ algebra with a generally non-trivial 4-bracket. We discuss special cases such as the commutator algebra of octonions, its contraction to the `R-flux algebra', and the Courant algebroid.

研究の動機と目的

• 任意の反対称括弧がベクトル空間上にどのように L∞代数に拡張可能かを一般条件で確立すること。
• 一般的な L∞拡張では、ゲージ作用が自明であるため、非自明な場の理論実現が得られないという制限に対処すること。
• 場の理論における真のゲージ対称性を実現できる非自明な高次括弧（例：ℓ₄）を持つ L∞代数を構成するための十分条件を同定すること。
• 一般定理を具体例を用いて示すため、オクタニオンの交換子代数、R-フラックス代数、コルーティア代数を含む明示的構成と例を提供すること。

提案手法

• 元の括弧を ℓ₂ として、X₁ ⊕ X₀ 上の 2-term L∞代数を構成し、ここで X₀ = V かつ X₁ = V* とする。ヤコビエータを ℓ₃ として定義する。
• 同型写像 V* → V を用いて ℓ₁: X₁ → X₀ を定義し、n=1 の L∞公理を満たすようにする。
• 元の括弧の結合子を用いて ℓ₃ を定義し、括弧がヤコビ恒等式を満たさない度合いを符号化する。
• ℓ₁, ℓ₂, ℓ₃ に対する一般化ヤコビ恒等式が構成上満たされることを証明し、任意の初期括弧に対して 2-term L∞構造が成立することを確立する。
• ヤコビエータが理想を定義する線形写像の像に値をとるより一般な構成を導入し、非自明な ℓ₄ を持つ 3-term L∞代数を可能にする。
• 同じ次数付きベクトル空間上での A∞代数構成の整合性を検証し、任意の非結合的代数が m₄ ≡ 0 を満たす A∞代数に埋め込まれることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の反対称括弧がベクトル空間上に 2-term L∞代数に拡張可能な条件は何か？
• RQ2 L∞代数の公理を満たしても、なぜ一般的な拡張では非自明なゲージ対称性が場の理論で実現されないのか？
• RQ3 ヤコビエータがどのような構造的条件を満たすと、非ゼロの 4-括弧を持つ 3-term L∞代数が存在するのか？
• RQ4 オクタニオンの非結合的交換子代数は、場の理論実現可能な非退化 L∞代数に埋め込めるか？
• RQ5 既知の場の理論的構造（コルーティア括弧、R-フラックス代数）は、この一般 L∞枠組みの中でどのように位置づけられるか？

主な発見

• 任意のベクトル空間 V 上の反対称括弧は、X = V ⊕ V* 上の 2-term L∞代数に拡張可能であり、3-括弧がヤコビエータを符号化する。これにより、このような拡張が常に存在することを証明した。
• 得られた 2-term L∞代数は一般に X₋₁ に非自明な拡張を許さないため、ゲージ作用が自明であるため、非自明な場の理論実現が得られない。
• ヤコビエータが元の代数における理想を定義する線形写像の像に値をとる場合、非自明な 3-term L∞代数が存在し、非ゼロの 4-括弧を持つ。
• R-フラックス代数はヤコビエータの像が 1 次元であるため、X₁ が 1 次元である最小 8 次元 L∞実現が可能であり、場の理論実現の可能性を裏付けた。
• オクタニオン交換子代数に対しては最小 14 次元の L∞代数が構成されたが、この構造は拡張不能であり、場の理論における非自明なゲージ対称性を実現しない。
• A∞代数構成により、任意の非結合的代数が m₄ ≡ 0 を満たす次数付き代数に埋め込まれ、すべての A∞公理を満たすことが示され、L∞構成とは双対的な視点を提供した。