[論文レビュー] Constructions of Morse maps for knots and links, and upper bounds on the Morse-Novikov number

Mikami Hirasawa, Lee Rudolph|ArXiv.org|Nov 9, 2003

Geometric and Algebraic Topology参考文献 20被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、ミルナー写像、スタリングスねじり、閉ばったbraidsに沿ったスプライシング、ムラスギ和、およびアークカットといった新しい構成を用いて、結び目およびリンクのモーツァート・ノヴィコフ数の上界を求める。自由 genus、braid index、ラッピング genus、交差数といった古典的不変量を用いて主要な上界を確立し、任意の結び目 $ K $ に対して $ \mathscr{MN}(K) \leq 4g_{\text{f}}(K) $ が成り立ち、ホワイトヘッド二重結び目に対しては $ \mathscr{MN}(D(K,m,\pm)) \leq 4\operatorname{brin}(K) - 2 $ が成り立つことを示している。

ABSTRACT

The Morse-Novikov number MN(L) of an oriented link L in the 3-sphere is the minimum number of critical points of a Morse map from the complement of L in the 3-sphere to the circle representing the class of a Seifert surface for L (e.g., the Morse-Novikov number of L is zero if and only if L is fibered). We develop various constructions of Morse maps (Milnor maps, Stallings twists, splicing along a link which is a closed braid with respect to a Morse map, Murasugi sums, cutting a Morse map along an arc on a page) and use them to bound Morse-Novikov numbers from above in terms of other knot and link invariants (free genus, crossing number, braid index, wrapping genus and layered wrapping genus).

研究の動機と目的

• $ S^3 \setminus L $ 上のモーツァート写像を、臨界点の数を制御可能な形で構成するための技法を開発すること。
• 古典的結び目不変量を用いて、モーツァート・ノヴィコフ数 $ \mathscr{MN}(L) $ の上界を確立すること。
• モーツァート写像の構成を用いて、ファイバーリングの既知の結果やシーベルト面の性質を、非ファイバーリングのリンクへと拡張すること。
• 特にホワイトヘッド二重結び目に対して、$ \mathscr{MN}(L) $ と自由 genus、braid index、ラッピング genus などの不変量との関係を明らかにすること。

提案手法

• 非ファイバーリングのリンク（例えば2成分のアンリンクなど）に対して、最小のモーツァート写像としてミルナー写像を構成する。
• 既存のモーツァート写像を、$ S^1 $ へのホモトピー類を保ちつつ変形するためのスタリングスねじりを適用する。
• $ S^3 \setminus L $ 内の閉 $ f $-braids に沿ったスプライシングを用いて、より単純な写像から新しいモーツァート写像を構成する。
• モーツァート写像のページにおけるムラスギ和とアークカットを用いて、写像を分解・再構成し、帰納的上界を得る。
• モーツァート写像からモノドロミーとアデキソドンを定義し、写像を再構成し、臨界点構造を解析する。
• シーベルト面とハンドル体構造との関係を活用し、$ b_{\text{f}}(L) $（自由 genus 不変量）を用いて $ \mathscr{MN}(L) $ を上界で制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 結び目およびリンクのモーツァート写像を、臨界点の数を制御可能な形で体系的にどのように構成できるか？
• RQ2 自由 genus、braid index、ラッピング genus を用いて、モーツァート・ノヴィコフ数 $ \mathscr{MN}(L) $ の上界をどのように確立できるか？
• RQ3 ムラスギ和やスタリングスねじりといった構成を用いて、非ファイバーリングのリンクに対しても $ \mathscr{MN}(L) $ を上界で制御できるか？
• RQ4 ホワイトヘッド二重結び目 $ D(K,m,\pm) $ に対して、不変量 $ g_{\text{wr}}(K) $、$ g_{\text{w}\ell}(K) $、$ c(K) $ と $ \mathscr{MN}(D(K,m,\pm)) $ の関係は何か？
• RQ5 特定のリンクに対して、標準的モーツァート・ノヴィコフ数と自由モーツァート・ノヴィコフ数の間にギャップが存在するか？

主な発見

• 任意の結び目 $ K $ に対して、モーツァート・ノヴィコフ数は $ \mathscr{MN}(K) \leq 4g_{\text{f}}(K) $ を満たし、ここで $ g_{\text{f}}(K) $ は自由 genus である。
• 任意の結び目 $ K $ に対して、$ \mathscr{MN}(D(K,m,\pm)) \leq 4\operatorname{brin}(K) - 2 $ が成り立ち、ここで $ \operatorname{brin}(K) $ は braid index である。
• ホワイトヘッド二重結び目に対しては、$ \mathscr{MN}(D(K,m,\pm)) \leq 2(g_{\text{w}\ell}(K) + 1) \leq 2(g_{\text{wr}}(K) + 1) $ が成り立ち、$ g_{\text{w}\ell}(K) $ はレイヤードラッピング genus である。
• ラッピング genus の推定を用いて、$ g_{\text{wr}}(K) \leq c(K) + 1 $ から、$ \mathscr{MN}(D(K,m,\pm)) \leq 2(c(K) + 2) $ という上界が導かれる。
• 自由 genus の推定はリンクへと一般化され、$ \mathscr{MN}(L) \leq 2b_{\text{f}}(L) $ が成り立ち、ここで $ b_{\text{f}}(L) $ は $ L $ のシーベルト面 $ S $ に対して $ \pi_1(S^3 \setminus S) $ の自由生成子の最小数である。
• 本稿では、$ \mathscr{MN}(L) $ が自由モーツァート・ノヴィコフ数 $ \mathscr{MN}_{\text{f}}(L) $ よりも厳密に小さい可能性がある証拠を提示しており、標準的と自由モーツァート写像の間にギャップが存在する可能性を示唆している。