[論文レビュー] Contact geometry and isosystolic inequalities

Juan-Carlos Álvarez Paiva, Florent Balacheff|arXiv (Cornell University)|Sep 20, 2011

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 24被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、実射影空間、複素射影空間、クaternion的射影空間、およびカイリー平面の標準計量が、自明な（同相型変形によって誘導される）変形とは接していない滑らかで体積を保つ変形の下で、サイスティック体積において厳密な局所最大値を達成することを確立している。接触幾何学的表現と標準的摂動論を用いることで、著者らは、最短周期的測地線の長さが標準計量において厳密な局所最大値をとることを証明し、Zoll フィンスラー多様体がサイスティック体積汎関数の唯一の滑らかな臨界点として同定されている。

ABSTRACT

A long-standing open problem in systolic geometry asks whether a Riemannian metric on the real projective space whose volume equals that of the canonical metric, but is not isometric to it, must necessarily carry a periodic geodesic of length smaller than π. A contact-geometric reformulation of systolic geometry and the use of canonical perturbation theory allow us to solve a parametric version of this problem. Namely, we show that if g_s is a smooth volume-preserving deformation of the canonical metric and at s=0 the deformation is not tangent to all orders to trivial deformations (i.e., to deformations of the form ϕ_s^* g_0 for some isotopy ϕ_s), then the length of the shortest periodic geodesic of the metric g_s attains πas a strict local maximum at s=0. This result still holds for complex and quaternionic projective spaces as well as for the Cayley plane. Moreover, the same techniques can be applied to show that Zoll Finsler manifolds are the unique smooth critical points of the systolic volume.

研究の動機と目的

• 実射影空間上における非等長なリーマン計量が、標準計量と同一の体積を持つ場合、最短周期的測地線が短くなるかどうかという、長年の未解決問題に取り組むこと。
• Zoll多様体の大きな対称性群を活用するため、サイスティック幾何学を接触幾何学の言語に再定式化すること。
• コンパクトなランク1の対称空間上の標準計量が、滑らかで体積を保つ変形の下で、サイスティック体積汎関数の厳密な局所最大値であることを示すこと。
• Zoll フィンスラー多様体が、サイスティック体積汎関数の唯一の滑らかな臨界点であることを特徴づけること。

提案手法

• Zoll多様体の単位余接束上の接触構造を用いて、サイスティック幾何学を再定式化すること。
• 双対計量テンソルを介して、リーマン計量の変形を接触形式の変形として表現すること。
• 標準的摂動論における平均化法および標準形の手法を用いて、変形下での周期的測地線の挙動を分析すること。
• ゼロエネルギー条件（リーマン・オービットに沿った変形の変化率の平均が消えること）を用いて、自明な変形（同相型変形による引き戻し）を特徴づけること。
• 変形が自明な変形とは接していない（すなわち、φ*s g₀ の形でない）場合、s=0 においてサイスティック長関数が厳密な局所最大値をとることを証明すること。
• 高次の変形については再パrametrizationを用いて非接続的状況に還元し、厳密な最大値性質を保たせること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 実射影空間上の標準計量は、同相型変形によって誘導されない滑らかで体積を保つ変形の下でも、サイスティック体積において厳密な局所最大値を保つのか？
• RQ2 Zoll フィンスラー多様体は、サイスティック体積汎関数の唯一の滑らかな臨界点なのか？
• RQ3 標準的摂動論における平均化法を、単位余接束上の接触形式の変形の下でのサイスティック長の分析に用いることができるか？
• RQ4 ゼロエネルギー条件は、最短周期的測地線の長さを保存するか短くするかを決定する上で果たす役割は何か？
• RQ5 接触幾何学的再定式化されたサイスティック幾何学は、複素射影空間、クaternion的射影空間、およびカイリー平面へどのように拡張されるか？

主な発見

• RPⁿ、CPⁿ、HPⁿ、またはカイリー平面の標準計量の滑らかで体積を保つ変形において、最短周期的測地線の長さは、変形がいかなる同相型変形とも接していない限り、s=0 で厳密な局所最大値をとる。
• Zoll フィンスラー多様体は、サイスティック体積汎関数の唯一の滑らかな臨界点であり、これは、すべての滑らかな等サイスティック変形においてサイスティック体積が定常的である唯一の多様体であることを意味する。
• ゼロエネルギー条件（リーマン・オービットに沿った変形の変化率の平均が消えること）は、自明な変形（同相型変形による引き戻し）を特徴づける。
• 変形テンソルがゼロエネルギー条件を満たさない場合、s=0 の近傍でサイスティック長関数は厳密に減少し、これが厳密な局所最大値を確認する。
• 高次変形に対しても再パラメータライゼーションを用いることで結果を拡張できる：変形が1次からk−1次まで自明な変形と一致しても、k次の項がゼロエネルギー条件を満たさない限り、s=0 で依然として厳密な局所最大値が達成される。
• 証明は、計量変形を接触形式 ρsα₀ の変化として再定式化し、得られるリーマン・フローに平均化理論を適用することに依拠している。