[論文レビュー] Continuity of delta invariants and twisted Kähler--Einstein metrics

Kewei Zhang|arXiv (Cornell University)|Mar 26, 2020

Geometry and complex manifolds参考文献 44被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、大きな錐上でのデルタ不変量の連続性を確立し、モーザー–トゥリッッジの不等式の最適指数に関連する解析的デルタ不変量を導入する。この解析的不変量がケーラー錐上で連続に変化することを証明し、最大リッチ下界の連続性が導かれる。主な結果として、極化から非極化設定に一般化された、超越的コhomology類への一様ヤウ–ティアン–ドナルドソン定理の拡張が得られ、歪み付きケーラー–アインシュタイン計量が存在するための必要十分条件は、デルタ不変量が1より大きいことであることが示された。

ABSTRACT

We show that delta invariant is a continuous function on the big cone. We will also introduce an analytic delta invariant and show its continuity in the Kähler cone, from which we deduce the continuity of the greatest Ricci lower bound. Then building on the work Berman-Boucksom-Jonsson, we obtain a uniform Yau-Tian-Donaldson theorem for twisted Kähler-Einstein metrics in general Kähler classes.

研究の動機と目的

• 歪み付きケーラー–アインシュタイン計量のヤウ–ティアン–ドナルドソン対応を、古典的な極化設定を超えて超越的コhomology類へ拡張すること。
• モーザー–トゥリッジの不等式における最適指数を用いて、解析的デルタ不変量を定義し、その性質を考察すること。
• 代数的デルタ不変量が大きな錐上で連続であること、および解析的デルタ不変量がケーラー錐上で連続であることの証明。
• 変分法を用いて、超越的クラスにおける歪み付きケーラー–アインシュタイン計量のための一様ヤウ–ティアン–ドナルドソン定理を確立すること。

提案手法

• ある重み付きL1推定が、擬・シュワルツ関数の空間上で一様に成り立つようなλ > 0の上限として、解析的デルタ不変量δ^A(ξ)を定義する。
• ベルマン–ブックサム–ヨンソンの変分的アプローチを用い、歪み付きディング汎関数の強制性と解析的デルタ不変量を関連付ける。
• デメールリの正則化法を適用し、特異計量を取り扱うために、擬・シュワルツ関数の空間E^1に拡張して議論を展開する。
• ケーラー類の微小摂動における対数特異点の高さ関数と体積関数の挙動を分析することで、代数的デルタ不変量の連続性を証明する。
• δ(ξ) > 1であることと、方程式Ric(ω) = ω + α（α ≥ 0）の解の存在が同値であることを確立する。
• klt接続θを伴うθ-歪み付き設定に枠組みを一般化し、結果を対数ファノやエッジ計量の状況にまで拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 代数的デルタ不変量δ(ξ)は、超越的ケーラー類へ連続に拡張可能であり、大きな錐上で連続関数として定義可能か？
• RQ2 モーザー–トゥリッジの不等式における最適指数によって定義される解析的デルタ不変量δ^A(ξ)は、ケーラー錐上で連続に変化するか？また、歪み付きケーラー–アインシュタイン計量の存在を特徴づけるか？
• RQ3 一様ヤウ–ティアン–ドナルドソン定理は、超越的コhomology類における歪み付きケーラー–アインシュタイン計量に対して成立するか？
• RQ4 θがklt接続または滑らかな半正定値形式と除数の和である場合、θ-歪み付きケーラー–アインシュタイン方程式への一般化は可能か？
• RQ5 歪み付き設定における解析的デルタ不変量δ^A(ξ)と代数的デルタ不変量δ(ξ)の関係は何か？

主な発見

• 代数的デルタ不変量δ(ξ)は、大きな錐上で連続であり、有理クラスに限らず定義が拡張可能である。
• 解析的デルタ不変量δ^A(ξ)はケーラー錐上で連続に変化し、モーザー–トゥリッジの不等式における最適指数によって特徴づけられる。
• 解析的デルタ不変量の連続性から、最大リッチ下界がケーラー錐上で連続であることが導かれる。
• ケーラー類ξに対してα ≥ 0であるとき、歪み付きケーラー–アインシュタイン計量が存在するための必要十分条件はδ(ξ) > 1であり、δ(ξ) > 1であれば解は一意に定まる。
• 超越的コhomology類に対しても一様ヤウ–ティアン–ドナルドソン定理が成り立つ：方程式Ric(ω) = ω + αの解の存在はδ(ξ) ≥ 1に、一意存在はδ(ξ) > 1にそれぞれ同値である。
• klt接続θを伴うθ-歪み付き設定へも一般化可能であり、方程式Ric(ω) = ω + 2πθの解が存在するための必要十分条件はδ_θ(ξ) > 1である。