[论文解读] Continuous solutions to Monge-Ampère equations on Hermitian manifolds for measures dominated by capacity

Sławomir Kołodziej, Ngoc Cuong Nguyen|arXiv (Cornell University)|Mar 11, 2020

Geometry and complex manifolds参考文献 17被引用 4

一句话总结

本文在紧致 Hermitian 流形上，对由容量控制的测度（包括适度测度和 Orlicz 型类中的测度）建立了复 Monge-Ampère 方程的连续 quasi-plurisubharmonic 解的存在性。关键贡献是通过 ω-plurisubharmonic 函数空间单位球上相应泛函的 Hölder 连续性，刻画了具有 Hölder 连续势的测度。

ABSTRACT

We prove the existence of a continuous quasi-plurisubharmonic solution to the Monge-Ampère equation on a compact Hermitian manifold for a very general measre on the right hand side. We admit measures dominated by capacity in a certain manner, in particular, moderate measures studied by Dinh-Nguyen-Sibony. As a consequence, we give a characterization of measures admitting Hölder continuous quasi-plurisubharmonic potential, inspired by the work of Dinh-Nguyen.

研究动机与目标

• 将复 Monge-Ampère 方程在紧致 Hermitian 流形上连续解的存在性结果，从 Kähler 设置推广至更一般情形。
• 通过与泛函分析相关的条件，刻画那些具有 Hölder 连续 quasi-plurisubharmonic 势的测度。
• 通过证明在容量控制测度下解的稳定性和唯一性，将 Dinh-Nguyen-Sibony 和 Pham-Vu 的结果推广至 Hermitian 设置。
• 通过容量和泛函正则性，建立适度测度及其势 Hölder 连续性的局部判别准则。

提出的方法

• 应用适配于 Hermitian 几何的 Pluripotential 理论，扩展 Kähler 流形上的方法。
• 定义测度类 $\mathcal{F}(X,h)$，其中权函数 $h$ 控制容量支配关系，包括 $h(x) = Cx^{n\tau}$ 和 $h(x) = Ce^{\alpha x}$。
• 应用在容量控制测度下 Monge-Ampère 解的稳定性估计，关键估计为 $\Gamma(s) = Cs^\alpha$。
• 使用局部 Hölder 连续性准则（引理 5.3）将整体问题约化为局部问题。
• 证明泛函 $\hat{\mu}$ 在 $\mathcal{S}$ 上的 Hölder 连续性与测度 $\mu$ 具有 Hölder 连续势等价。
• 利用已知的关于适度测度和容量支配的结果，将 Pham 和 Vu 的定理推广至 Hermitian 流形。

实验结果

研究问题

• RQ1 在紧致 Hermitian 流形上，对于正 Radon 测度 $\mu$，在何种条件下复 Monge-Ampère 方程 $(\omega + dd^c u)^n = c\mu$ 存在连续的 $\omega$-psh 解？
• RQ2 哪些测度 $\mu$ 满足其解 $u$ 为 Hölder 连续？
• RQ3 如何将 Dinh-Nguyen 对具有 Hölder 连续势的测度的刻画，从 Kähler 推广至 Hermitian 流形？
• RQ4 在 Hermitian 设置下，Monge-Ampère 解的稳定性估计和唯一性结果在容量控制测度下在多大程度上成立？
• RQ5 能否利用基于容量的判别准则，将关于奇异测度（如实超曲面上的体积形式）的结果推广至 Hermitian 流形？

主要发现

• 对于任意 $\mu \in \mathcal{F}(X,h)$，其中 $h(x) = Cx^{n\tau}$ 或 $h(x) = Ce^{\alpha x}$，存在连续的 $\omega$-psh 解 $u$ 和常数 $c > 0$，使得 $(\omega + dd^c u)^n = c\mu$ 成立。
• 泛函 $\hat{\mu}(v) = \int_X v d\mu$ 在 $\mathcal{S} = \{v \in PSH(\omega) : -1 \leq v \leq 0, \sup_X v = 0\}$ 上 Hölder 连续，当且仅当 $\mu \in \mathcal{H}(\tau)$ 且 $\mu$ 具有 Hölder 连续的 $\omega$-psh 势。
• 若测度满足 $\mu(B(x,t)) \leq A t^{2n-2+\alpha}$（对所有 $0 < t \leq t_0$），且 $f \in L^p(X, d\mu)$（$p > 1$），则 $\mu$ 具有 Hölder 连续的 $\omega$-psh 势（至多相差一个常数倍）。
• 该结果将 Pham 和 Vu 关于实超曲面上光滑体积形式的定理推广至 Hermitian 设置，且使用局部 Hölder 准则使证明更简洁。
• 若 $\mu$ 是适度测度，即 $\mu \leq C (dd^c \varphi)^n$ 对某个 Hölder 连续函数 $\varphi$ 成立，则泛函 $\hat{\mu}$ 在 $\mathcal{S}$ 上 Hölder 连续。
• 文献 [DN14, 命题 4.4] 的证明可推广至 Hermitian 流形，表明 $\hat{\mu}$ 在 $\{v \in PSH(\omega) : \sup_X v = 0\}$ 上的 Hölder 连续性蕴含 $\mu$ 是适度测度。