[论文解读] Converting online algorithms to local computation algorithms

Yishay Mansour, Aviad Rubinstein+2 more|arXiv (Cornell University)|May 7, 2012

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 15被引用 8

一句话总结

本文提出一种通用方法，通过使用输入的随机排列来模拟在线算法，并利用查询树分析查询依赖关系，将在线算法转换为局部计算算法（LCAs）。关键贡献在于对查询树大小的分析实现显著改进，将最大匹配的时间和空间复杂度降低至 O(log³n)，将超图2-着色和k-CNF的时间和空间复杂度降低至 O(log⁴n)，消除了指数级依赖于最大度数的项。

ABSTRACT

We propose a general method for converting online algorithms to local computation algorithms by selecting a random permutation of the input, and simulating running the online algorithm. We bound the number of steps of the algorithm using a query tree, which models the dependencies between queries. We improve previous analyses of query trees on graphs of bounded degree, and extend the analysis to the cases where the degrees are distributed binomially, and to a special case of bipartite graphs. Using this method, we give a local computation algorithm for maximal matching in graphs of bounded degree, which runs in time and space O(log^3 n). We also show how to convert a large family of load balancing algorithms (related to balls and bins problems) to local computation algorithms. This gives several local load balancing algorithms which achieve the same approximation ratios as the online algorithms, but run in O(log n) time and space. Finally, we modify existing local computation algorithms for hypergraph 2-coloring and k-CNF and use our improved analysis to obtain better time and space bounds, of O(log^4 n), removing the dependency on the maximal degree of the graph from the exponent.

研究动机与目标

• 开发一种通用框架，将在线算法系统性地转换为局部计算算法（LCAs），并保证效率和正确性。
• 通过改进依赖图中查询树大小的分析，降低现有LCAs的时间和空间复杂度。
• 消除查询树复杂度指数项中对最大度数的依赖，从而改进先前结果。
• 将LCAs的适用范围扩展至负载均衡问题、最大匹配、超图2-着色和k-CNF问题，并实现多项式对数时间复杂度。
• 提供一种通用且可重用的方法，将广泛类别的在线算法转换为具有高概率保证的高效LCAs。

提出的方法

• 使用输入元素的随机排列来模拟在线算法的执行，确保查询顺序的一致性和随机性。
• 使用查询树结构建模查询之间的依赖关系，其中每个节点代表一个查询，边表示对先前查询响应的依赖。
• 通过概率分析界定查询树的大小，证明在最大度数有界或服从二项分布的情况下，其大小以高概率（w.h.p.）为 O(log n)。
• 将查询树分析应用于推导LCAs的时间和空间界限，确保运行时间和内存使用为多项式对数级别。
• 通过整合改进的查询树分析，修改现有的超图2-着色和k-CNF的LCAs算法，以降低复杂度。
• 使用 O(log n)-wise 独立的随机排序来高效模拟随机性，仅需 O(log³n) 空间即可完成局部计算。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以系统性地将在线算法转换为具有多项式对数时间与空间复杂度的局部计算算法？
• RQ2 是否可以更紧密地界定依赖图中查询树的大小，以降低LCAs的复杂度，特别是在最大度数有界或服从二项分布的图中？
• RQ3 是否能够消除查询树复杂度指数项中对最大度数的依赖？
• RQ4 改进的查询树分析是否可应用于推导超图2-着色和k-CNF问题的更优界限？
• RQ5 是否可以将负载均衡算法转换为LCAs，实现与原始在线算法相同的近似比，同时时间与空间复杂度为 O(log n)？

主要发现

• 查询树的大小以高概率（w.h.p.）被界定为 O(log n)，显著优于先前的 O(log^{d+1} n) 上界，其中 d 为最大度数。
• 对于最大度数有界的图中的最大匹配问题，所得到的LCAs运行时间与空间复杂度均为 O(log³n)，优于先前的界限。
• 改进的查询树分析使得超图2-着色和k-CNF的LCAs运行时间与空间复杂度为 O(log⁴n)，消除了指数项中对最大度数的依赖。
• 负载均衡算法（如球与箱子问题）可被转换为LCAs，运行时间与空间复杂度为 O(log n)，且保持与原始在线算法相同的近似比。
• 该方法支持 O(log n)-wise 独立的随机排序，实现高效的随机性模拟，仅需 O(log³n) 空间，从而为球与箱子问题构建出 (O(log³n), O(log³n), 1/n)-LCAs。
• 该框架具有通用性，适用于广泛类别的在线算法，包括具有容量约束的负载均衡算法以及基于分组的箱子选择算法。