[論文レビュー] Corrigendum for "Second-order reflected backward stochastic differential equations" and "Second-order BSDEs with general reflection and game options under uncertainty"

Anis Matoussi, Dylan Possamaï+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 26, 2017

Stochastic processes and financial applications参考文献 20被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、2階反射バックワードストキャスティック微分方程式（2RBSDEs）およびその二重反射拡張（2DRBSDEs）における最小性条件の重大な欠陥を是正し、これにより従来は一意性と事前推定が損なわれていた。著者らは、スコロフホド型の最小性条件を導入し、下位障害物に関する追加の振動仮定の下で、これが一意性と適切な定式化を保証することを証明した。この結果は、最近の$G$-フレームワークの結果と整合し、著者らの先行研究における主要な結果の有効性を回復する。

ABSTRACT

The aim of this short note is to fill in a gap in our earlier paper [16] on 2BSDEs with reflections, and to explain how to correct the subsequent results in the second paper [15]. We also provide more insight on the properties of 2RBSDEs, in the light of the recent contributions [13, 23] in the so--called $G-$framework.

研究の動機と目的

• 著者らの先行研究において一意性の証明を無効としていた、2階反射BSDEs（2RBSDEs）の最小性条件における欠陥を特定・是正すること。
• 下位障害物に関する振動仮定の下で、スコロフホド型最小性条件が元の欠陥のある条件と同一の解を与えることを確立すること。
• 2DRBSDEsに関する後続論文の結果、特に事前推定および動的計画法則を、是正された最小性条件に基づいて再考すること。
• 反射$G$-BSDEsに関する最近の$G$-フレームワークの結果と整合することを示し、二つの最小性概念の同等性を示すこと。
• ボラティリティの不確実性下でのゲームオプションの価格付けに2DRBSDEsを用いることの妥当性を検証し、あらゆる測度の不確実性集合においてスーパーヘッジングが達成されることを保証すること。

提案手法

• 文献[21]における元の最小性条件（2.6）に内在する欠陥を特定し、$K^{\mathbb{P}'} - k^{\mathbb{P}'}$の非減少性を保証しないことによる問題を明らかにすること。
• 下位障害物に関する振動仮定（仮定2.1）の下で、$Y_{t^-} = L_{t^-}$のとき$K^{\mathbb{P}}$が非減少となるスコロフホド型条件に基づく新しい最小性条件を導入すること。
• 生成子$F$のリプシッツ性および$\mathbb{D}^{2,\kappa}_H$-ノルムの構造を用いて、新しい条件が元の欠陥のある条件と同一の解を与えることを証明すること。
• 文献[20]における事前推定を再考し、有界 Variation 迅速過程の全 Variation の制御を、その$\mathbb{D}^{2,\kappa}_H$-ノルムの制御に置き換えること。
• [26]および[23]の結果を用いて、一貫性のある連続性の制限を撤廃し、一般の$\xi \in \mathbb{L}^{2,\kappa}_H$に対する存在性を拡張すること。
• 動的計画法則を再定式化し、誤った記述（例：[20]の補題3.9および3.12）を削除し、命題3.10において定数$\gamma$を0に設定すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 なぜ[21]における元の最小性条件は2RBSDEsにおける一意性を保証できないのか？
• RQ2 スコロフホド型最小性条件が元の条件に置き換え可能であり、解および一意性を保つことができるか？
• RQ3 スコロフホド型条件が元の条件と同一の解を与えるために必要な追加仮定は何か？
• RQ4 是正された最小性条件が、二重反射系の事前推定および動的計画法則に与える影響は何か？
• RQ5 是正された2DRBSDEsは、ボラティリティの不確実性下でのゲームオプションのスーパーヘッジング戦略をどの程度維持できるか？

主な発見

• 文献[21]における元の最小性条件（2.6）は、$K^{\mathbb{P}'} - k^{\mathbb{P}'}$が非減少であることを保証しないため、一意性の証明が無効である。
• 新しいスコロフホド型最小性条件は、障害物$L$が振動仮定（仮定2.1）を満たす限り、一意性を保証し、元の条件と同一の解を与える。
• 文献[20]における事前推定は見直された：有界変動過程の全 Variation の制御は不要となり、代わりにその$\mathbb{D}^{2,\kappa}_H$-ノルムの制御が導入された。
• [20]の補題3.9および3.12は無効であり、削除されなければならない。命題3.10において定数$\gamma$は0に設定されなければならない。
• 文献[20]における存在性結果は、[26]および[23]の結果を活用することで、すべての$\xi \in \mathbb{L}^{2,\kappa}_H$に拡張された。一貫性のある連続性の制限は不要となった。
• 2DRBSDEsとボラティリティの不確実性下でのゲームオプションのスーパーヘッジングの関係は依然有効であるが、価格の最適性は未解決のままであるが、期待されている。