[論文レビュー] Covariantly functorial Floer theory on Liouville sectors

Sheel Ganatra, John Pardon+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 9, 2017

Geometric and Algebraic Topology参考文献 24被引用数 18

ひとこと要約

本稿では、境界を持つリーマン多様体としてのリウヴィルセクターを導入し、包絡ホモロジー圏、シンプレクティックコhomology、およびオープン・クローズド写像に対する共変的ファンクター性フレームワークを確立する。主な貢献は、セクターの包含に関するファンクター性によって可能になったアブーザイドの生成条件に対する局所的から大域的への原理である。

ABSTRACT

We introduce a class of Liouville manifolds with boundary which we call Liouville sectors. We define the wrapped Fukaya category, symplectic cohomology, and the open-closed map for Liouville sectors, and we show that these invariants are covariantly functorial with respect to inclusions of Liouville sectors. From this foundational setup, a local-to-global principle for Abouzaid's generation criterion follows.

研究の動機と目的

• 境界を持つ新しいシンプレクティック多様体のクラス、すなわちリウヴィルセクターを定義し、リウヴィルドメインを一般化すること。
• リウヴィルセクターに対して包絡ホモロジー圏、シンプレクティックコhomology、およびオープン・クローズド写像を構成すること。
• リウヴィルセクターの包含に関するこれらの不変量の共変的ファンクター性を確立すること。
• シンプレクティックトポロジーにおけるアブーザイドの生成条件に対する局所的から大域的への原理を導出すること。
• 非コンパクトで境界をもつシンプレクティック多様体へのフロイド理論的不変量の拡張のための基盤フレームワークを提供すること。

提案手法

• 特定の幾何的および力学的条件を満たす境界付きのリウヴィル多様体としてリウヴィルセクターを導入すること。
• ハミルトニアンの摂動と適応されたほぼ複素構造を用いて、リウヴィルセクターの包絡ホモロジー圏を定義すること。
• 増加するハミルトニアン作用の下でのフロイドコhomology群の直和極限を用いてシンプレクティックコhomologyを構成すること。
• 包絡ホモロジー圏のホッフホモロジーcohomologyからシンプレクティックコhomologyへのオープン・クローズド写像を定義すること。
• これらの三つの不変量がリウヴィルセクターの包含に関して共変的ファンクター的であることを証明すること。
• ファンクター性を用いて、接合と局所化の技法を用いてアブーザイドの生成条件に対する局所的から大域的への原理を導出すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ファンクター性を保つような方法で、境界をもつシンプレクティック多様体へのフロイド理論的不変量をどのように拡張できるか。
• RQ2 境界をもつリウヴィル多様体が、その包絡ホモロジー圏とシンプレクティックコhomologyが適切に定義され、ファンクター的であるための条件は何か。
• RQ3 リウヴィルセクターの文脈において、オープン・クローズド写像を定義し、ファンクター的であることを示せるか。
• RQ4 不変量のファンクター性が、シンプレクティック生成に関する局所的から大域的への原理をどのように可能にするか。
• RQ5 リウヴィルセクターがアブーザイドの生成条件を一般化するために適しているとされる構造的性質は何か。

主な発見

• リウヴィルセクターの包絡ホモロジー圏は、セクターの包含に関して適切に定義され、共変的ファンクター的構造を有する。
• リウヴィルセクターのシンプレクティックコhomologyは、包含に関してファンクター的であり、包含写像の下で代数的構造を保存する。
• リウヴィルセクターのオープン・クローズド写像はファンクター的であり、包絡ホモロジー圏のホッフホモロジーcohomologyとシンプレクティックコhomologyを結ぶ。
• これらの三つの不変量のファンクター性により、アブーザイドの生成条件に対する局所的から大域的への原理が可能となり、局所的データから大域的生成を導出可能となる。
• このフレームワークは、非コンパクトで境界をもつ多様体のシンプレクティックトポロジーをファンクター的不変量を用いて体系的に研究する方法を提供する。
• 本研究は、ホモロジー的ミラー対称性および生成に関する結果を、より広いクラスのシンプレクティック多様体へ拡張するための基盤的ツールセットを確立する。