[論文レビュー] Crossing Kernels for Boundary and Crosscap CFTs

Matthijs Hogervorst|arXiv (Cornell University)|Mar 23, 2017

Model Reduction and Neural Networks参考文献 74被引用数 29

ひとこと要約

この論文は、$d$次元の境界およびクロスキャップ conformal field theories (CFTs) に、アルファ空間法を拡張し、共形カシミア作用素の固有関数を用いてスカラー2点関数の積分表現を導出する。境界およびクロスキャップのクロスング核は、$d=1$ 時のクロスング核の特別な極限として特定され、非自明な背景におけるCFT整合性条件の普遍的枠組みが確立される。

ABSTRACT

This paper investigates d-dimensional CFTs in the presence of a codimension-one boundary and CFTs defined on real projective space RP^d. Our analysis expands on the alpha space method recently proposed for one-dimensional CFTs in arXiv:1702.08471. In this work we establish integral representations for scalar two-point functions in boundary and crosscap CFTs using plane-wave-normalizable eigenfunctions of different conformal Casimir operators. CFT consistency conditions imply integral equations for the spectral densities appearing in these decompositions, and we study the relevant integral kernels in detail. As a corollary, we find that both the boundary and crosscap kernels can be identified with special limits of the d=1 crossing kernel.

研究の動機と目的

• 1次元CFTから、codimension-oneの境界および$\mathbb{RP}^d$上に存在する$d$次元CFTへのアルファ空間形式の一般化を目的とする。
• 共形カシミア作用素の平面波正規化可能な固有関数を用いて、境界CFTおよびクロスキャップCFTにおけるスカラー2点関数の積分表現を導出すること。
• 境界およびクロスキャップのクロスング核が、$d=1$ 時のクロスング核の特別な極限として特定されることを示し、CFT整合性条件における普遍的構造を明らかにすること。

提案手法

• 境界CFTのボリュームおよび境界上における共形カシミア作用素の固有関数を解析するため、シュトゥルム＝リウヴィル理論を用いる。
• 位置空間相関関数をスペクトル密度に写像するためのアルファ空間変換を適用し、極および留数がCFTデータに対応することを示す。
• CFT整合性条件から得られるスペクトル密度の積分方程式を導出し、境界およびクロスキャップのクロスング核を定義する。
• 正規直交多項式を用いた、$[0,1]$ 上の重み関数$w_{\mathrm{bulk}}$, $w_{\mathrm{bdy}}$, および$w_{\mathrm{proj}}$を介した2点関数の積分表現を確立する。
• 有理関数および多項式をアルファ空間密度に写像するため、ジャコビ変換とウィルソン多項式との関係に依存する。
• $d=1$ 時のクロスング核が、極限状態として境界およびクロスキャップ核を内包することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アルファ空間法は、1次元CFTから境界またはクロスキャップを有する高次元CFTへどのように拡張可能か？
• RQ2 共形カシミア作用素の固有関数を用いた、境界およびクロスキャップCFTにおけるスカラー2点関数の積分表現は何か？
• RQ3 境界およびクロスキャップのクロスング核は、$d=1$ 時のクロスング核とどのように関係しているか？
• RQ4 スペクトル密度およびその積分方程式は、非自明な背景におけるCFT整合性を保証するために果たす役割は何か？
• RQ5 アルファ空間形式は、境界およびクロスキャップCFTにおけるスケーリング次元やOPE係数といったCFTデータを体系的に分析するために使用可能か？

主な発見

• 境界およびクロスキャップのクロスング核が、$d=1$ 時のクロスング核の特別な極限として特定され、異なるCFT背景間の普遍的関係が確立された。
• 共形カシミア作用素の固有関数を用いた、境界およびクロスキャップCFTにおける2点関数の積分表現が導出され、重み関数$w_{\mathrm{bdy}}(\rho)$および$w_{\mathrm{proj}}(\eta)$を用いた。
• アルファ空間におけるスペクトル密度は、CFT整合性から生じる積分方程式を満たし、$d=1$ の場合を一般化した核を持つ。
• 共形ブロック展開における係数$Y_n^{p,q}$は、$\Delta_1 \leftrightarrow \Delta_2$ の下で不変であり、OPEデータにおける対称性を反映している。
• べき関数およびジャコビ多項式のアルファ空間変換が明示的に計算され、ジャコビ変換を介してウィルソン多項式と関連づけられた。
• 核のミドルフィールド解が導出され、大$N$極限における既知の結果と整合することが示された。