[論文レビュー] Cyclic Cohomology of the Weyl Algebra

Thomas Willwacher|ArXiv.org|Apr 17, 2008

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 9被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、Weyl代数 $A_{2n}$ の循環コホモロジーの $\fsp_{2n}$-基本的代表元について明示的な公式を提供し、先行するHochschildコホモロジーに関する研究を一般化する。$\theta = \theta_{\text{can}}$ のねじれ指数関数を用いて、著者は、シンプレクティックリー代数作用に関して不変である循環コサイクル $\tau_w = e^{-u\theta}\tau_{2n} \otimes w$ を構成し、評価写像 $ev_1$ による像が符号を除いて特徴的類 $\hat{A}Ch$ を回復することを証明し、NestとTsyganの結果を拡張する。

ABSTRACT

We give an explicit formula for symplectically basic representatives of the cyclic cohomology of the Weyl algebra. This paper can be seen as cyclic addendum to the paper by Feigin, Felder and Shoikhet, where the analogous Hochschild case was treated. As an application, we prove a generalization of a Theorem of Nest and Tsygan concerning the relation of the Todd class and the cyclic cohomology of the differential operators on a complex manifold.

研究の動機と目的

• Weyl代数 $\fA_{2n}$ の循環コホモロジーに対する $\fsp_{2n}$-基本的代表元を明示的に構成し、先行するHochschildコホモロジーの結果を拡張すること。
• シンプレクティックリー代数 $\fsp_{2n}$ 作用に関して不変な循環コサイクルを見つける困難さを解決し、形式幾何における局所的構成のグローバル化に不可欠である。
• 循環コサイクル $\tau_w$ と特徴的類 $\fA Ch$ の明確な関係を確立し、NestとTsyganによる微分作用素の循環コホモロジーとTodd類の関係に関する結果を一般化すること。
• Feigin, Felder, および Shoikhet（FFS）が確立したHochschildコホモロジーの公式に対する循環的双対を提供し、変形量論のコホモロジー的枠組みを完成させること。

提案手法

• シンプレクティック形式 $\omega$ に関連する収縮作用素 $\iota_\omega$ の指数関数 $e^{-u\iota_\omega}$ を用いて、循環コサイクル $\tau_w = e^{-u\iota_\omega}\tau_{2n} \otimes w$ を構成し、$\tau_{2n}$ をFFSのHochschildコサイクルとする。
• Getzlerの統一的枠組みを用い、複体 $CC_W^\bullet(\fA_{2n}) = C^\bullet(\fA_{2n}, \fA_{2n}^*)[[u]] \otimes_{\mathbb{C}[u]} W$ と微分 $d + uB$ を用いる。
• 円周上の $k+1$ 個の点の配置空間 $\tilde{\Delta}_k$ を用い、Hochschildコチェイン値の微分形式 $\eta_k$ を定義し、$\Delta_k$ に沿って積分することで $\tau_{2k}$ を定義する。
• ストークスの定理と単体的恒等式を適用し、循環双複体の関係を検証し、$B\tau_{2k+2} = d\tau_{2k}$ を示し、$\tau_{2k}$ がコサイクルであることを確認する。
• Hochschildコホモロジーからリー代数コホモロジーへの評価写像 $ev_1$ を用い、$\tau_{2k}^r$ と特徴的類 $\hat{A}Ch$ を関連づけ、$[ev_1(\tau_{2k}^r)] = (-1)^k[\hat{A}Ch]_{2k}$ を証明する。
• FFSによって構成されたHochschildコサイクル $\tau_{2n}$ が $\fsp_{2n}$-基本的であることが示され、それを $e^{-u\iota_\omega}$ のねじれによって循環的設定に拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Weyl代数 $\fA_{2n}$ の循環コホモロジーに対して、既知のHochschildの場合を拡張する明示的 $\fsp_{2n}$-基本的代表元を構成可能か？
• RQ2 循環コホモロジー $\fA_{2n}$ と評価写像 $ev_1$ を通じて特徴的類 $\hat{A}Ch$ とどのように関係するか？
• RQ3 コサイクルであり、かつ $\fsp_{2n}$ の作用に関して不変であるような循環コサイクル $\tau_w$ の正確な形は何か？
• RQ4 Nest-Tsyganの定理（複素多様体上の微分作用素のTodd類と循環コホモロジーの関係）は、循環的設定に一般化可能か？
• RQ5 シンプレクティック形式 $\omega$ を含む幾何的ねじれを用いて、循環コサイクルの $\fsp_{2n}$-不変性を達成可能か？

主な発見

• 循環コサイクル $\tau_w = e^{-u\iota_\omega}\tau_{2n} \otimes w$ は $HC^\bullet(\fA_{2n})$ の非自明な代表元であり、すべての $a \in \fsp_{2n}$ に対して $\iota_a \tau_w = 0$ を満たすため、$\fsp_{2n}$-基本的である。
• $\tau_{2k}^r = \frac{1}{(n-k)!}(-\iota_\omega)^{n-k}\tau_{2n}^r$ の $2k$ 成分に対する $ev_1$ の評価は、$(-1)^k[\hat{A}Ch]_{2k}$ と同じリー代数コホモロジー類をもたらし、定理3を証明する。
• 本構成は、HochschildコホモロジーにおけるFFSの結果を循環的状況に一般化し、$\fsp_{2n}$-不変代表元の統一的枠組みを提供する。
• 本手法により、$\fA_{2n}$ の循環コホモロジーを $W$ とテンソル積にとったものと、$HH^\bullet(\fA_{2n}, \fA_{2n}^*)[[u]] \otimes_{\mathbb{C}[u]} W$ が同型であることが確認され、既知の同型を拡張する。
• 本稿は、循環コサイクルと特徴的類 $\hat{A}Ch$ の明確な関係を確立し、Nest-Tsyganの定理を循環的設定に一般化する。
• Pflaum, Posthuma, および Tang は、独立して本結果を確認し、さらに応用を拡張している。これは、変形量論および指標理論における広範な関連性を示唆している。