[论文解读] Data mining for cones of metrics, quasi-metrics, hemi-metrics and super-metrics

Michel Deza, Mathieu Dutour Sikirić|ArXiv.org|Jan 2, 2002

Advanced Differential Geometry Research参考文献 13被引用 3

一句话总结

本文提出了一套计算框架，用于分析 m-ary 和定向度量的凸锥，包括半度量、割半度量、拟度量、半度量和超度量，采用邻接分解法的改进版本与 cdd 程序。该研究首次完整计算了这些锥在 n≤7 时的结果，提供了关于极射线、面、轨道和直径的新数据，并建立了这些多面体锥的邻接性准则与基于对称性的轨道结构。

ABSTRACT

Using some adaptations of the adjacency decomposition method \cite{CR} and the program {\it cdd} (~\cite{Fu}), we compute the first computationally difficult cases of convex cones of $m$-ary and oriented analogs of semi-metrics and cut semi-metrics, which were introduced in \cite{DR2} and \cite{DP}. We considered also more general notion of $(m,s)$-super-metric and corresponding cones. The data on related cones - the number of facets, of extreme rays, of their orbits and diameters - are collected in Table ef{tab:MainLovelyTable}. We study also criterion of adjacency for skeletons of those cones and their duals. Some families of extreme rays and operations on them are also given.

研究动机与目标

• 计算 m-ary 和半度量、割半度量的定向类比的凸锥的首个计算困难情形。
• 将框架扩展至包含 (m,s)-超度量及其对应的锥。
• 确定这些锥的面数、极射线数、其轨道数以及直径。
• 开发并应用这些锥中极射线与面之间邻接性的判定准则。
• 提供度量相关锥的结构属性的全面数据集，包含针对 n≤7 的新结果。

提出的方法

• 将邻接分解法（ChRe96）进行改进，系统探索度量相关锥的面结构。
• 使用 cdd 程序（Fu95）计算半度量与超度量锥的凸包与对偶锥。
• 采用线性规划方法，在无需完整枚举的前提下测试极射线与面的邻接性。
• 利用群论对称性分析，结合 Sym(n) 与 Z₂×Sym(n)，对等距对称下的面轨道进行分类。
• 定义并计算骨架图 G(C) 与脊图 G(C*)，以分析锥的直径与邻接关系。
• 提供一种构造性方法，通过基于 Johnson 图的向量生成极射线，并证明其在 SMET^{m,m}_n 中的极值性。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于小规模 n，m-ary 和定向度量锥的完整面格结构（面、极射线、轨道）是怎样的？
• RQ2 这些度量锥中极射线与面之间的邻接关系如何表现？能否通过算法确定？
• RQ3 这些锥的骨架图与脊图的直径是多少？其随 n 的增长趋势如何？
• RQ4 哪些锥存在非零极射线？它们是否满足所有极射线均为非零的猜想，即在 SMET^{m,m}_n 中成立？
• RQ5 对称性（通过 Sym(n) 与 Z₂×Sym(n)）在定向情形下对锥的面轨道分类中起什么作用？

主要发现

• 本文首次完整计算了锥 SMET^{4,4}_7，结果为 24 个极射线、1260 个面，直径为 24，所有结果均以粗体标示，为新发现。
• 对于 SMET^{m,m}_n 且 n=m+2 的情形，锥结构可完全求解，极射线数量恰好为 C(n, m+1)，且仅有一个轨道。
• SCUT^{4,4}_7 是首个存在非-(m,s)-单形面的最小例子，且并非所有面都与任何 (m,s)-单形面相邻。
• 由 v(S)=1 当 1∈S，否则为 0 定义的向量 v 是 SMET^{m,m}_n 的一个极射线，其轨道大小为 n，图同构于 Johnson 图 J(n-1,m)。
• SMET^{m,m}_n 中的非负性不等式是冗余的，这一性质与 MET_n=SMET^{1,1}_n 共享。
• 本文为猜想 10 提供了强有力的计算证据：SMET^{m,m}_n 存在无零分量的极射线，且在 n≤7 时已验证。