[论文解读] Data Structures for Weighted Matching and Extensions to $b$-matching and $f$-factors

Harold N. Gabow|arXiv (Cornell University)|Nov 22, 2016

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 24被引用 7

一句话总结

本文提出了一种在一般图中求解最大权完美匹配的高效算法，通过基于动态最近公共祖先计算的新型数据结构实现花朵构造，时间复杂度为 $O(n(m + nackepsilon n))$。该方法被扩展至 $b$-匹配和 $f$-因子问题，保持相同的时间复杂度，从而通过适当的初始化实现更快速的最短路径结构和 $T$-连接问题求解。

ABSTRACT

This paper shows the weighted matching problem on general graphs can be solved in time $O(n(m + n\log n))$ for $n$ and $m$ the number of vertices and edges, respectively. This was previously known only for bipartite graphs. The crux is a data structure for blossom creation. It uses a dynamic nearest-common-ancestor algorithm to simplify blossom steps, so they involve only back edges rather than arbitrary nontree edges. The rest of the paper presents direct extensions of Edmonds' blossom algorithm to weighted $b$-matching and $f$-factors. Again the time bound is the one previously known for bipartite graphs: for $b$-matching the time is $O(\min\{b(V),n\log n\}(m + n\log n))$ and for $f$-factors the time is $O(\min\{f(V),m\log n\}( m + n\log n) )$, where $b(V)$ and $f(V)$ denote the sum of all degree constraints. Several immediate applications of the $f$-factor algorithm are given: The generalized shortest path structure of \cite{GS13}, i.e., the analog of the shortest path tree for conservative undirected graphs, is shown to be a version of the blossom structure for $f$-factors. This structure is found in time $O(|N|(m+n\log n))$ for $N$ the set of negative edges ($0

研究动机与目标

• 开发一种数据结构，以在一般图的埃德monds加权匹配算法中实现高效的花朵构造。
• 将埃德monds的花朵算法扩展至加权 $b$-匹配和 $f$-因子问题，时间复杂度与二分图中已知结果一致。
• 在一般图中为最大权匹配及相关问题实现强多项式时间界。
• 证明 $f$-因子算法可通过初始化高效求解最短路径和 $T$-连接问题。

提出的方法

• 引入一种动态最近公共祖先（Dnca）数据结构，以简化花朵步骤，仅将它们限制在后向边之上。
• 采用带有缩放对偶变量 $y$ 和 $z$ 的对偶调整方案，其中 $\sigma = 4n(w(e) - \widehat{yz}(e))$ 确保对偶调整的一致性。
• 应用缩放技术，其中 $z(B)$ 定义为 $Z(B) - Z(p(B))$，$Z(B)$ 是有界区间内最接近的 $4n$ 的倍数。
• 对图进行变换，将最短路径问题建模为 $f$-因子实例，通过顶点复制和边重加权实现。
• 使用最大代价绝对值 $W$ 初始化对偶变量，若顶点 $v$ 与负边相连则设 $y(v) = W$，否则设为 $0$。
• 利用来自 $f$-因子算法的搜索结构 $\mathcal{S}$ 表示保守无向图中的广义最短路径。

实验结果

研究问题

• RQ1 埃德monds加权匹配算法的时间复杂度能否从二分图扩展到一般图，并达到 $O(n(m + n\log n))$？
• RQ2 动态最近公共祖先数据结构能否用于简化花朵操作，减少对任意非树边的依赖？
• RQ3 $f$-因子算法能否通过初始化在 $O(|N|(m + n\log n))$ 时间内求解最短路径和 $T$-连接问题，其中 $|N|$ 为负边数量？
• RQ4 保守无向图中的广义最短路径结构是否等价于 $f$-因子中的花朵结构？

主要发现

• 一般图上的加权匹配问题可在 $O(n(m + n\log n))$ 时间内求解，与二分图中最佳已知时间界一致。
• $b$-匹配问题在 $O(\min\{b(V), n\log n\}(m + n\log n))$ 时间内求解，其中 $b(V)$ 为度约束之和。
• $f$-因子问题在 $O(\min\{f(V), m\log n\}(m + n\log n))$ 时间内求解，$f(V)$ 为顶点度要求之和。
• 保守无向图中的广义最短路径结构被证明与 $f$-因子中的花朵结构等价，且当 $|N| < n$ 个负边时，可在 $O(|N|(m + n\log n))$ 时间内计算。
• 可通过 $f$-因子算法的初始化，在 $O(n(m + n\log n))$ 时间内找到最短 $T$-连接，或在所有代价非负时以 $O(|T|(m + n\log n))$ 时间求解。
• 该算法的搜索阶段渐近最优，因其时间复杂度与在适当模型下对 $n$ 个数排序的下界 $\Omega(m + n\log n)$ 一致。