[論文レビュー] Deformations of algebras in noncommutative geometry

Travis Schedler|arXiv (Cornell University)|Dec 5, 2012

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 55被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、非可換幾何における結合的代数の変形理論について、例を交えた包括的で体系的な導入を提供している。主な焦点はホッフコホモロジーとコンツェビチのフォーマリティ定理にあり、形式的変形を用いたポアソン構造の量子化のための枠組みを確立している。主な結果として、滑らかな多様体に対して自然な関手的量子化が存在すること、およびウェイの代数、包あらわし代数、シンプレクティック反射代数などの代数に対して明示的な構成が得られることを示している。

ABSTRACT

These are significantly expanded lecture notes for the author's minicourse at MSRI in June 2012, as published in the MSRI lecture note series, with some minor additional corrections. In these notes, we give an example-motivated review of the deformation theory of associative algebras in terms of the Hochschild cochain complex as well as quantization of Poisson structures, and Kontsevich's formality theorem in the smooth setting. We then discuss quantization and deformation via Calabi-Yau algebras and potentials. Examples discussed include Weyl algebras, enveloping algebras of Lie algebras, symplectic reflection algebras, quasihomogeneous isolated hypersurface singularities (including du Val singularities), and Calabi-Yau algebras.

研究の動機と目的

• 特性がゼロの体上の結合的代数の変形理論について、自己完結的で例に基づいた導入を提供すること。
• 可換代数の無限小的および形式的変形がどのようにポアソン構造と量子化に導くかを説明すること。
• 変形量子化とカラビ＝ヤウ代数の間の関係を、特にポテンシャルと循環的ホモロジーを通じて確立すること。
• ウェイ代数、包あらわし代数、シンプレクティック反射代数といった主要な代数に対する変形の明示的構成を提示すること。
• コンツェビチのフォーマリティ定理が滑らかなアフィン多様体上のポアソン構造の明示的で関手的な量子化を構成する役割を示すこと。

提案手法

• 結合的代数の変形を記述するためにホッフコチェーン複体を用い、2番目のコホモロジー群が無限小的変形を分類することを示している。
• コンツェビチのフォーマリティ定理を適用して、ホッフコチェーン複体と多ベクトル場の間の準同型を構成し、明示的な量子化を可能にしている。
• フォーマリティ写像の計算にフェインマン図およびホイール型のグラフを用い、特にリー代数と対称代数のケースに特化している。
• リー代数のフォーマリティ写像の係数を、$\operatorname{tr}((\operatorname{ad}x)^m)$ の形で表している。
• 多変数関数 $f_1, \dots, f_k$ による完全交差の定義において、$\Xi_X = i_{\partial_1 \wedge \cdots \wedge \partial_n}(df_1 \wedge \cdots \wedge df_k)$ による収縮を用いて、ユニモジュラー多ベクトル場の概念を導入し、ポアソン構造と整合性を持つようにしている。
• 導来圏の枠組みと循環的ホモロジーを用いて、特に孤立した超曲面特異点の文脈で、カラビ＝ヤウ代数への量子化の一般化を実現している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特性がゼロの体上の滑らかなアフィン多様体に定義されたポアソン構造が、形式的変形量子化をもつための条件は何か？
• RQ2 リー代数および対称代数に対して、コンツェビチのフォーマリティ写像をどのように明示的に計算できるか？
• RQ3 カラビ＝ヤウ構造とポテンシャルは、非可換代数の変形理論において果たす役割は何か？
• RQ4 変形論的構成は、ウェイ代数やシンプレクティック反射代数といった既知の代数とどのように関係しているか？
• RQ5 ポアソン代数の量子化はどのような意味で関手的であり、非アフィン的または特異的の場合にどのような障害が生じるか？

主な発見

• コンツェビチのフォーマリティ定理により、特性がゼロの体上の滑らかなアフィン多様体に定義された任意のポアソン構造に対して、自然で関手的な量子化が可能である。
• リー代数のフォーマリティ写像の係数は、随伴表現のべきのトレースとして表される：$\operatorname{tr}((\operatorname{ad}x)^m)$。
• $\mathbf{A}^n$ 内の $k$ 個の関数 $f_1, \dots, f_k$ によって定義される完全交差 $X$ に対して、関連する多ベクトル場 $\Xi_X$ はユニモジュラーであり、$[\Xi_X, \Xi_X] = 0$ を満たすため、ポアソン2次形式である。
• $\Xi_X$ によって誘導されるポアソン括弧に関して、関数 $f_i$ は中心的である。$i_{\Xi_X}(df_i) = 0$ であるため、ハミルトニアンベクトル場が消える。
• フォーマリティ写像はホイール型のグラフの和として表され、各グラフは $\operatorname{tr}((\operatorname{ad}x)^{m_1}) \cdots \operatorname{tr}((\operatorname{ad}x)^{m_k})$ に比例する項を寄与する。
• ポテンシャルを用いてカラビ＝ヤウ代数へ拡張され、変形理論は循環的コホモロジーに従い、関連する循環的前カラビ＝ヤウ構造によって支配される。