[论文解读] Denominator Bounds for Systems of Recurrence Equations using $ΠΣ$-Extensions

Johannes Middeke, Carsten Schneider|arXiv (Cornell University)|Apr 30, 2017

Polynomial and algebraic computation参考文献 32被引用 4

一句话总结

本文提出了算法，用于在 ΠΣ-扩张中计算线性递推方程组的分母界，从而将有理函数解的求解问题转化为多项式解的计算问题。主要贡献在于提出了一种系统化方法，以确定一个能整除所有解分母的通用分母，这对于符号求和与特殊函数理论中的耦合递推系统求解至关重要。

ABSTRACT

We consider linear systems of recurrence equations whose coefficients are given in terms of indefinite nested sums and products covering, e.g., the harmonic numbers, hypergeometric products, $q$-hypergeometric products or their mixed versions. These linear systems are formulated in the setting of $ΠΣ$-extensions and our goal is to find a denominator bound (also known as universal denominator) for the solutions; i.e., a non-zero polynomial $d$ such that the denominator of every solution of the system divides $d$. This is the first step in computing all rational solutions of such a rather general recurrence system. Once the denominator bound is known, the problem of solving for rational solutions is reduced to the problem of solving for polynomial solutions.

研究动机与目标

• 开发用于在 ΠΣ-扩张中计算线性递推方程组通用分母界的算法。
• 通过分母界实现将有理函数解问题转化为多项式解问题。
• 支持直接求解耦合递推系统，避免昂贵的解耦步骤。
• 将现有针对标量递推的方法扩展至包含嵌套求和与乘积的一般耦合系统。
• 为符号求和中 d’Alembertian 和 Liouvillian 解的计算提供基础。

提出的方法

• 该方法使用 ΠΣ-扩张来建模包含嵌套求和与乘积（如调和数和超几何项）的系数域。
• 通过分析域扩张在 σ 作用下的移位行为，计算一个非周期性分母界 d ∈ ℱ[t]。
• 对于 σ(t) = t + β（求和型），该分母界 d 是完备的；对于 σ(t) = αt（乘积型），当 m 足够大时，t^m d 成为完备分母界。
• 该方法通过代入 y = y'/d 将原系统转化为多项式解 y' ∈ ℱ[t]^n 的求解问题。
• 通过猜测多项式解的次数界 b ∈ ℕ 来限制搜索空间，从而将问题转化为常数域上的线性代数问题。
• 通过递归地将方法应用于子域，可通过对子域逐层下降至常数域，从而求解嵌套 ΠΣ-扩张中的系统。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在 ΠΣ-扩张中的耦合线性递推方程组上计算通用分母界？
• RQ2 移位行为（σ(t) = t+β 或 σ(t) = αt）在确定分母界完备性方面起什么作用？
• RQ3 该方法能否避免昂贵的耦合系统解耦，同时仍能实现有理函数解的计算？
• RQ4 哪些策略可确保多项式解的搜索保持计算上的可行性？
• RQ5 如何递归地将该方法应用于嵌套 ΠΣ-扩张，以到达常数域？

主要发现

• 本文证明，在假设 ℱ[t] 中可计算非零度（dispersion）的前提下，可在 ΠΣ-扩张中算法化地计算出分母界 d ∈ ℱ[t]。
• 对于求和型变量（σ(t) = t + β），所计算出的 d 是完备分母界。
• 对于乘积型变量（σ(t) = αt），当 m 足够大时，t^m d 成为完备分母界，但目前在一般情况下尚未能算法化地确定 m。
• 该方法可将有理函数解的求解问题转化为多项式解系统的求解，后者更易于进行符号计算。
• 该方法支持在符号求和及粒子物理学中出现的耦合递推系统中计算 d’Alembertian 和 Liouvillian 解。
• 该方法具有递归性，可通过逐层下降至子域，最终到达常数域，由线性代数求解最终系统。