[論文レビュー] Densities of rational points and number fields

Takehiko Yasuda|arXiv (Cornell University)|Aug 18, 2014

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 11被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、非可換群 $G \leq S_n$ の推移的部分群から、$X = (\mathbb{P}^m)^n / G$ という商多様体を構成することにより、Malleの数体の密度に関する予想と、Batyrev-Tschinkelの特異Fano多様体上の有理点に関する予想の間に深い関係を確立する。$X$ の原始的有理点の高さゼータ関数が $G$-体の数え上げを符号化することを示し、標準的予想のもとで、Malleの予想がこのような多様体についてBatyrev-Tschinkelの予想を示唆することを証明し、$G$-体の数に対する改善された上界を得る。

ABSTRACT

We relate the problem of counting number fields, in particular, Malle's conjecture with the problem of counting rational points on singular Fano varieties, in particular, Batyrev and Tschinkel's generalization of Manin's conjecture.

研究の動機と目的

• 特異Fano多様体上の有理点と、与えられたガロア群をもつ数体との間の対応を確立すること。
• Malleの $G$-体の漸近的密度に関する予想と、BatyrevとTschinkelの特異Fano多様体上の有理点に関する予想を関連させること。
• 高さゼータ関数と予想される解析的性質を用いて、$G$-体の数に対する新たな上界を導出すること。
• 局所体拡大を局所幾何からグローバルな商多様体の幾何へ結びつける、野生McKay対応のグローバル類似を提供すること。

提案手法

• $G \leq S_n$ を推移的部分群とするとき、$X = (\mathbb{P}_K^m)^n / G$ という商多様体を構成し、$m \cdot \mathrm{ind}(G) \geq 2$ のとき、$X$ は標準的特異点をもつFano多様体であることを示す。
• $X$ の原始的 $K$-有理点に対する高さゼータ関数 $Z_{X(K)^{\mathrm{prim}}}(s)$ を定義し、$Z_{X(K)^{\mathrm{prim}}}(s) = \frac{1}{\sharp Z(G)} \sum_{L \in G\text{-}\mathrm{Fie}(K)} Z_{\mathbb{P}^m(L^{G_1})^{\mathrm{orig}}}(s)$ を通じて $G$-体の重み付き和として表現できることを示す。
• 高さゼータ関数の予想される解析的挙動——特に $s=1$ における極の位置と位数——を用いて、$G$-体の数の漸近的性質を導出する。
• ディリクレ級数の収束の横座標を用いて、$M_{G,K}(B)$ の増加率を $\sum_F |N_{K/\mathbb{Q}}(D_{F/K})|^{-s}$ の収束と関連づけ、部分和の成長に関する補題6.14を活用する。
• 高さゼータ関数の解析的性質および局所密度の収束に関する予想6.9, 6.11, 6.12 を仮定して、グローバルな上界を導出する。
• $m \cdot \mathrm{ind}(G) > 2$ のとき、$X$ は終着的であり $\mathrm{cd}(X) = 0$ であるため、$Z_{X(K)^{\mathrm{prim}}}(s)$ の $s=1$ における極の位数がピカール数と特異点を反映し、Batyrev-Tschinkelの予想と結びつくことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 数体 $K$ 上の $G$-体の数え上げは、特異Fano多様体上の有理点の分布とどのように関係づけられるか？
• RQ2 Malleの数体の密度に関する予想と、Batyrev-Tschinkelの特異Fano多様体上の有理点に関する予想の正確な関係は何か？
• RQ3 商多様体 $X = (\mathbb{P}^m)^n / G$ の高さゼータ関数は、$G$-体の漸近的成長を符号化できるか？
• RQ4 高さゼータ関数の極の位数が、Malleの予想における不変量 $\mathrm{ind}(G)$ および $\beta(G,K)$ を反映するのはどのような条件下か？
• RQ5 多様体 $X$ の標準的特異点が、局所体拡大とグローバル幾何を結ぶ役割を果たすのはどのような点か？

主な発見

• 予想6.9, 6.11, 6.12 のもとで、高さゼータ関数 $Z_{X(K)^{\mathrm{prim}}}(s)$ が $s=1$ に単純極を持つことと、$\sum_{F \in G\text{-}\mathrm{fie}(K)} \delta_{F,m} < \infty$ が成り立つことは同値であり、ゼータ関数の解析的挙動と局所密度の収束が結びつく。
• $m = \lceil 3/\mathrm{ind}(G) \rceil$ のとき、任意の $\epsilon > 0$ に対して $M_{G,K}(B) \ll B^{m/2 + \epsilon}$ を証明し、既知の上界を改善する。
• $G = S_n$ のとき、$M_{S_n,K}(B) \ll B^{3/2 + \epsilon}$ が得られ、$G = A_n$ のときは $M_{A_n,K}(B) \ll B^{1 + \epsilon}$ となる。これは、従来の非指数的または多項式的上界よりも顕著に改善される。
• この結果により、同じ予想のもとで、Malleの予想が多様体 $X = (\mathbb{P}^m)^n / G$ についてBatyrev-Tschinkelの予想を示唆することを示した。
• 本論文は、局所体拡大の重み付き数え上げを、商多様体のストリングイ不変量と結びつけることにより、野生McKay対応のグローバル類似を確立した。
• $m \cdot \mathrm{ind}(G) = 2$ の場合については未解決であり、極の位数が $\mathrm{cd}(X) + 1 = \beta(G,K) + 1$ にジャンプすると予想されるが、証明は得られていない。