[論文レビュー] Derivator Six Functor Formalisms -- Definition and Construction I

Fritz Hörmann|arXiv (Cornell University)|Jan 9, 2017

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 12被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、2-マルチカテゴリにおけるファイバリング（op）ファイブレーションとファイバリングマルチドリバトゥアを用いた、統一的フレームワークを導入し、6ファンクター形式的構造を統合的に扱う。これにより、すべての6ファンクターとその整合性（ベースチェンジ、射影公式、ホモトピー・カン拡張など）が、包括的かつ簡潔に記述可能となる。主たる貢献は、ベースチェンジおよび射影公式を満たす任意のファイバリングマルチドリバトゥアが、$f_! = f_*$ を満たすドリバトゥア6ファンクター形式的構造に自然に帰着されることを示した点であり、グロテンディークの6ファンクター形式的構造のドリバトゥア版を確立した。

ABSTRACT

A theory of a derivator version of six-functor-formalisms is developed, using an extension of the notion of fibered multiderivator due to the author. Using the language of (op)fibrations of 2-multicategories this has (like a usual fibered multiderivator) a very neat definition. This definition not only encodes all compatibilities among the six functors but also their interplay with homotopy Kan extensions. One could say: a nine-functor-formalism. This is essential for dealing with (co)descent questions. Finally, it is shown that every fibered multiderivator (for example encoding any kind of derived four-functor formalism $(f_*, f^*, \otimes, \mathcal{HOM})$ occurring in nature) satisfying base-change and projection formula formally gives rise to such derivator six-functor-formalism in which $f_!=f_*$, i.e. a derivator Grothendieck context.

研究の動機と目的

• 高階圏的構造を用いて、ドリバトゥア6ファンクター圏の統一的かつ簡潔な形式的構造を構築すること。
• ベースチェンジ、射影公式など、すべての標準的整合性およびそれらがホモトピー・カン拡張とどのように作用するかを、一つの枠組みに統合的に記述すること。
• ベースチェンジおよび射影公式を満たす任意のファイバリングマルチドリバトゥアが、$f_! = f_*$ を満たすドリバトゥア6ファンクター形式的構造に自然に帰着されることを示すこと。
• 導来およびモチーフ的文脈における（co）descentおよび双対性定理を体系的に研究する基盤を提供すること。

提案手法

• ファンクター性の精密な制御を可能とするために、2-マルチカテゴリにおける（op）ファイブレーションを含むファイバリングマルチドリバトゥアの概念を拡張する。
• ラクス自然変換および1-カルテジアン射を用いて、図式上を横切るファンクターの整合性を形式化する。
• 対応の2-マルチカテゴリ上の擬関手としてドリバトゥア6ファンクター形式的構造を定義し、合成則によって整合性を強制する。
• コカーテシアング・プロジェクターの理論を応用し、ドリバトゥア設定における必要な随伴関手および同型を構成する。
• 安定ドリバトゥア形式的構造における（co）局所化性および$n$-アンギルを用いて、ホモトピー極限および余極限との整合性を保証する。
• 一様性およびファンクター性を保証するため、表現可能プレ2-マルチドリバトゥアおよび2-（co）カルテジアン射の理論に依拠する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ホモトピー・カン拡張との相互作用を含め、すべての標準的整合性を一様に記述できるように、ドリバトゥア版6ファンクター形式的構造をどのように定義できるか？
• RQ2 ファイバリングマルチドリバトゥアにどのような構造的条件を課すと、$f_! = f_*$ を満たすドリバトゥア6ファンクター形式的構造が存在するか？
• RQ3 ファイバリングマルチドリバトゥアにおけるベースチェンジおよび射影公式が、完全なドリバトゥア6ファンクター形式的構造をどのように導くか？
• RQ4 2-マルチカテゴリおよびファイブレーションを用いて、双対性および（co）descentを含む、6ファンクター形式的構造全体を一つの形式的枠組みに統合できるか？
• RQ5 $n$-アンギルおよび（co）局所化性は、形式的構造の安定化と一貫性の確保にどのように寄与するか？

主な発見

• ドリバトゥア6ファンクター形式的構造は、対応の2-マルチカテゴリ上の擬関手として定義され、すべての整合性が合成則を通じて記述される。
• 本構成により、ベースチェンジおよび射影公式を満たす任意のファイバリングマルチドリバトゥアが、$f_! = f_*$ を満たすドリバトゥア6ファンクター形式的構造に帰着されることを示した。これにより、ドリバトゥアグロテンディーク的文脈が実現された。
• この形式的枠組みは、2-マルチカテゴリにおける合成則の結果として、すべての標準的同型（ベースチェンジ、射影公式など）を自然に記述する。
• すべての9つのファンクター：$f_*, f^*, f_!, f^!, igotimes, \text{Hom}$ およびそれらの導来版を含むため、（co）descentの問題に対しても対応可能である。
• 1-カルテジアンラクス自然変換の使用により、図式全体にわたる一貫性が保証され、（co）局所化性により形式的構造の安定性が確保される。
• 本フレームワークは一般性に富んでおり、層の導来圏、D-モジュール、モチーフなど、すべての標準的例を一様に捉えることができる。