[论文解读] Deterministic Approximation for Submodular Maximization over a Matroid in Nearly Linear Time

Kai Han, Zongmai Cao+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 22, 2020

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 43被引用 7

一句话总结

本文提出了TwinGreedy和TwinGreedyFast两种新颖的确定性算法，用于在拟阵约束下求解非单调子模最大化问题。通过引入一种并行搜索框架，同时构建两个候选解集，作者在O(nr)时间内实现了1/4的近似比，在近乎线性时间O((n/ε)log(r/ε))内实现了(1/4−ε)的近似比，优于以往的确定性方法，在近似比和效率方面均有提升。

ABSTRACT

We study the problem of maximizing a non-monotone, non-negative submodular function subject to a matroid constraint. The prior best-known deterministic approximation ratio for this problem is $\frac{1}{4}-ε$ under $\mathcal{O}(({n^4}/ε)\log n)$ time complexity. We show that this deterministic ratio can be improved to $\frac{1}{4}$ under $\mathcal{O}(nr)$ time complexity, and then present a more practical algorithm dubbed TwinGreedyFast which achieves $\frac{1}{4}-ε$ deterministic ratio in nearly-linear running time of $\mathcal{O}(\frac{n}ε\log\frac{r}ε)$. Our approach is based on a novel algorithmic framework of simultaneously constructing two candidate solution sets through greedy search, which enables us to get improved performance bounds by fully exploiting the properties of independence systems. As a byproduct of this framework, we also show that TwinGreedyFast achieves $\frac{1}{2p+2}-ε$ deterministic ratio under a $p$-set system constraint with the same time complexity. To showcase the practicality of our approach, we empirically evaluated the performance of TwinGreedyFast on two network applications, and observed that it outperforms the state-of-the-art deterministic and randomized algorithms with efficient implementations for our problem.

研究动机与目标

• 将非单调子模最大化在拟阵约束下的确定性近似比提升至1/4，超越先前已知的最佳1/4−ε。
• 降低此类问题的确定性算法时间复杂度，特别是实现近乎线性时间复杂度。
• 开发一种实用且高效的算法，在保持强理论保证的同时可扩展至大规模数据集。
• 将该框架推广至更一般的约束，如p-集合系统，并提供可证明的性能边界。

提出的方法

• 提出一种新颖的“并行贪心搜索”框架，而非按顺序，而是并行构建两个互不相交的候选解集S₁和S₂。
• 采用受Badanidiyuru和Vondrák（2014）启发的阈值技术，剔除低收益元素，以实现近乎线性时间复杂度。
• 通过将最优解O中的元素分类并映射到S₁ ∪ S₂中的元素，控制效用损失，从而实现1/4的近似保证。
• 设计TwinGreedyFast作为优化变体，在保持(1/4−ε)近似比的同时，将时间复杂度降低至O((n/ε)log(r/ε))。
• 证明该框架可推广至p-集合系统约束，实现1/(2p+2)−ε的近似比，且时间复杂度保持相同。
• 在真实应用场景（如社交网络监控和多产品病毒式营销）中实现并评估该算法。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将非单调子模最大化在拟阵约束下的确定性近似比从1/4−ε提升至1/4？
• RQ2 是否可能在近乎线性时间O((n/ε)log(r/ε))内实现(1/4−ε)的确定性近似比？
• RQ3 并行贪心搜索框架是否能在效率和近似质量两方面优于现有的重复贪心搜索或局部搜索方法？
• RQ4 所提出的框架是否可推广至更一般的约束（如p-集合系统），同时保持强理论边界？
• RQ5 在实际应用中，新算法的性能与最先进的确定性和随机化算法相比如何？

主要发现

• TwinGreedy在O(nr)时间复杂度下实现了非单调子模最大化在拟阵约束下的确定性1/4近似比，优于先前已知的1/4−ε。
• TwinGreedyFast在近乎线性时间O((n/ε)log(r/ε))内实现了(1/4−ε)的确定性近似比，是目前实现该近似比的最快算法。
• 并行贪心搜索框架通过利用两个候选集之间的相互覆盖，实现了更紧的效用损失边界，避免了对无约束子模最大化子程序的依赖。
• 在社交网络监控和多产品病毒式营销的实证评估中，TwinGreedyFast的运行速度比最先进的算法快一个数量级以上，同时保持或超越了其解质量。
• 该框架可推广至p-集合系统约束，实现1/(2p+2)−ε的近似比，且时间复杂度保持近乎线性。
• 在运行时间和效用方面，TwinGreedyFast优于所有对比的确定性和随机化算法，展示了在真实应用中的实际优越性。