[论文解读] Deterministic Identity Testing of Read-Once Algebraic Branching Programs

Maurice Jansen, Youming Qiao+1 more|ArXiv.org|Dec 14, 2009

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 3被引用 7

一句话总结

本文提出了针对求和形式的k次读一次代数分支程序（Σk-RO-ABPs）的确定性多项式时间恒等测试算法，利用了一种新的代数性质——'对齐'，并扩展了Shpilka-Volkovich生成器。研究证明Σk-RO-ABPs严格强于Σk-RO-公式，并提出了三种算法——非黑盒、半黑盒和黑盒算法，其时间复杂度分别为O(k²n⁷s) + n^O(k)、k²n^O(log n) + n^O(k) 和 n^O(k+log n)，在满足域大小约束的条件下成立。

ABSTRACT

In this paper we study polynomial identity testing of sums of $k$ read-once algebraic branching programs ($Σ_k$-RO-ABPs), generalizing the work in (Shpilka and Volkovich 2008,2009), who considered sums of $k$ read-once formulas ($Σ_k$-RO-formulas). We show that $Σ_k$-RO-ABPs are strictly more powerful than $Σ_k$-RO-formulas, for any $k \leq \lfloor n/2 floor$, where $n$ is the number of variables. We obtain the following results: 1) Given free access to the RO-ABPs in the sum, we get a deterministic algorithm that runs in time $O(k^2n^7s) + n^{O(k)}$, where $s$ bounds the size of any largest RO-ABP given on the input. This implies we have a deterministic polynomial time algorithm for testing whether the sum of a constant number of RO-ABPs computes the zero polynomial. 2) Given black-box access to the RO-ABPs computing the individual polynomials in the sum, we get a deterministic algorithm that runs in time $k^2n^{O(\log n)} + n^{O(k)}$. 3) Finally, given only black-box access to the polynomial computed by the sum of the $k$ RO-ABPs, we obtain an $n^{O(k + \log n)}$ time deterministic algorithm.

研究动机与目标

• 开发针对求和k次读一次代数分支程序（Σk-RO-ABPs）的多项式时间恒等测试（PIT）的高效确定性算法。
• 证明当k ≤ ⌊n/2⌋时，Σk-RO-ABPs严格强于Σk-RO-公式。
• 将针对RO-公式设计的Shpilka-Volkovich生成器扩展至适用于RO-ABPs。
• 引入并利用代数性质'对齐'，以实现对多线性多项式的结构化分析。

提出的方法

• 为多线性多项式引入'对齐'概念，推广预对齐以实现结构化限制与归纳。
• 使用Shpilka-Volkovich生成器测试单个RO-ABP，证明其不仅适用于RO-公式，也适用于RO-ABPs。
• 应用先前工作中提出的'表示困难性'方法，分析Σk-RO-ABPs的结构。
• 利用偏导数与变量限制，在保持对齐与预对齐性质的同时减少变量数量。
• 基于变量数量进行归纳，利用Vanishing定理（定理9）将PIT问题约化为在小集合Wₙ^{7k}上的测试。
• 在三种访问模型下构建算法：非黑盒（可完全访问RO-ABPs）、半黑盒（对组件具有黑盒访问权限）和黑盒（仅对求和结果具有黑盒访问权限）。

实验结果

研究问题

• RQ1 Shpilka-Volkovich生成器能否扩展至测试单个RO-ABP的恒等性，而不仅限于RO-公式？
• RQ2 当k ≤ ⌊n/2⌋时，Σk-RO-ABPs类是否严格强于Σk-RO-公式？
• RQ3 对齐性质能否用于设计Σk-RO-ABPs的确定性恒等测试算法？
• RQ4 在不同访问模型（非黑盒、半黑盒、黑盒）下，Σk-RO-ABPs的恒等测试问题的计算复杂度如何？
• RQ5 对齐多项式的Vanishing定理是否可推广至Σk-RO-ABPs，从而通过小 hitting set 实现高效的PIT？

主要发现

• 当任意k ≤ ⌊n/2⌋时，Σk-RO-ABPs严格强于Σk-RO-公式，通过一个可由RO-ABP计算但无法由任何RO-公式计算的多项式得到验证。
• 原本为RO-公式设计的Shpilka-Volkovich生成器，同样可作为单个RO-ABP的有效恒等测试工具。
• 在非黑盒访问下，确定性算法的时间复杂度为O(k²n⁷s) + n^O(k)，其中s为最大RO-ABP大小的上界。
• 在半黑盒访问下，算法的时间复杂度为k²n^O(log n) + n^O(k)，且具有相同的域大小要求。
• 在黑盒访问下，确定性算法的时间复杂度为n^O(k+log n)，这是该设置下的首次此类结果。
• Vanishing定理（定理9）表明，在对齐与域大小约束下，f ≡ 0当且仅当f在Wₙ^{7k}上的限制恒为零。