[論文レビュー] Differential operators and harmonic weak Maass forms

Jan Hendrik Bruinier, Ken Ono+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 7, 2008

Analytic Number Theory Research参考文献 19被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、重さ 2−k の調和的弱マース形式における微分作用素 ξ_{2−k} と D^{k−1} を調べ、リーマン・ゼータ関数の零点を持つ新形式（例えば、CM 形式）の双対となる形式が代数的係数を持つことを示している。正則化内積を用いて D^{k−1} の像を特徴づけ、これらのモジュラー形式の係数に深い算術的構造が存在することを明らかにした。

ABSTRACT

For integers $k\geq 2$, we study two differential operators on harmonic weak Maass forms of weight $2-k$. The operator $\xi_{2-k}$ (resp. $D^{k-1}$) defines a map to the space of weight $k$ cusp forms (resp. weakly holomorphic modular forms). We leverage these operators to study coefficients of harmonic weak Maass forms. Although generic harmonic weak Maass forms are expected to have transcendental coefficients, we show that those forms which are ``dual'' under $\xi_{2-k}$ to newforms with vanishing Hecke eigenvalues (such as CM forms) have algebraic coefficients. Using regularized inner products, we also characterize the image of $D^{k-1}$.

研究の動機と目的

• 重さ 2−k の調和的弱マース形式の係数の算術的性質を理解すること。
• これらの形式における微分作用素 ξ_{2−k} と D^{k−1} の作用を分析すること。
• 正則化内積を用いて D^{k−1} の像を特徴づけること。
• 特に、ヘッケ固有値がゼロである新形式と関連して、調和的弱マース形式が代数的係数を持つ条件を特定すること。
• ξ_{2−k} 作用素を介した調和的弱マース形式と尖点形式の双対性を確立すること。

提案手法

• 本稿では、重さ 2−k の調和的弱マース形式を、重さ k の尖点形式へ写像する微分作用素 ξ_{2−k} を適用する。
• 重さ k の弱正則モジュラー形式へ写像するため、微分作用素 D^{k−1} を用いる。
• 正則化内積を用いて、弱正則モジュラー形式空間における D^{k−1} の像を特徴づける。
• ξ_{2−k} 作用素による調和的弱マース形式と尖点形式の双対性を活用し、係数の算術的性質を分析する。
• 特にヘッケ固有値がゼロである新形式、特に CM 形式の双対となる形式に注目し、係数の代数的性質を導出する。
• モジュラー形式、調和的弱マース形式、微分作用素に関する理論的道具を統合し、構造的結果を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 調和的弱マース形式が代数的フーリエ係数を持つのはどのような条件下か？
• RQ2 ξ_{2−k} 作用素は調和的弱マース形式と尖点形式をどのように関連づけ、係数の算術的性質にどのような含意を持つのか？
• RQ3 重さ 2−k の調和的弱マース形式に作用する微分作用素 D^{k−1} の像は何か？
• RQ4 正則化内積は D^{k−1} の像を特徴づけるのにどのように役立つか？
• RQ5 新形式におけるヘッケ固有値のゼロ（特に CM 形式の場合）は、係数の代数的性質を決定づける役割を果たすか？

主な発見

• ヘッケ固有値がゼロである新形式（例えば CM 形式）の双対として ξ_{2−k} に写される調和的弱マース形式は、代数的フーリエ係数を持つ。
• 微分作用素 D^{k−1} が重さ 2−k の調和的弱マース形式に作用する像は、正則化内積を用いて特徴づけられる。
• 作用素 ξ_{2−k} は、重さ 2−k の調和的弱マース形式を重さ k の尖点形式の空間へ全射的に写像する。
• 微分作用素 D^{k−1} は調和的弱マース形式を重さ k の弱正則モジュラー形式へ写像し、その像は正則化内積を用いて記述される。
• 調和的弱マース形式の係数の算術的構造は、双対となる尖点形式のヘッケ固有値と深く関係している。
• CM 新形式の双対として ξ_{2−k} に写される形式は、一般に超越的係数を持つと予想されるが、代数的係数を示す。