[論文レビュー] Dirac Monopole in Non-Commutative Space

L. P. Jiang|ArXiv.org|Jan 12, 2000

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 16被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、非可換パラメータ $ heta$ における摂動展開を用いて非可換空間におけるディラック磁荷を調査する。$O(\theta^2)$ までで、ゲージポテンシャルや場強度に非自明な補正は見つからず、磁荷の質量が無限に保たれることを示唆する。この結果は、非可換性がディラック磁荷の発散エネルギーを正則化しないことを示し、時空の非可換性の物理的実在性およびその宇宙論的意味について疑問を呈する。

ABSTRACT

We consider static U(1) monopole in non-commutative space. Up to the second order in the non-commutativity scale $θ$, we find no non-trivial corrections to the Dirac solution, the monopole mass remains infinite. We argue the same holds for any arbitrary higher order. Some speculation about the nature of non-commutative spacetime and its relation to the cosmological constant is made.

研究の動機と目的

• 非可換時空がゲージ理論における長年の問題であるディラック磁荷の無限大エネルギーを正則化するかを調査すること。
• 非可換 $U(1)$ゲージ理論の変形が、$\theta$ の低次の項において磁荷解に有限の補正を導入するかを検討すること。
• 非可換幾何学において、磁荷の量子化および位相的構造が保存されるか、あるいは変化するかを評価すること。
• 非可換時空、真空エネルギー密度、および宇宙定数問題との関連を探索すること。
• 非可換場理論が、基本的な磁荷的構成を記述する枠組みとして実現可能かどうかを評価すること。

提案手法

• 非可換ゲージ場を定義するための Moyal $\star$-積に基づく形式的枠組みを採用し、$[x_i, x_j] = i\theta_{ij}$ および場強度 $F = dA - \frac{i}{2}[A,A]_\star$ を用いる。
• ゲージポテンシャル $A = A^0 + A^1 + A^2 + \cdots$ および場強度 $F = F^0 + F^1 + F^2 + \cdots$ を $\theta$ のべき級数として摂動展開する。
• 修正されたバイアンキ恒等式 $DF = 4\pi g \delta^3(\vec{r}) \ast 1$ を $\theta$ の各次数で順次解き、$DF = dF - i[A,F]_\star$ を用いる。
• $O(\theta^0)$ において、ウ・ヤン法を用いて特異なディラックストリングとディラック磁荷解を扱い、$\vec{B}^0 = g\vec{r}/r^3$ を得る。
• ゲージ不変性の破れを $\delta F \simeq [i\lambda, F]_\star$ を通じて分析し、$\theta$-依存の補正を導入する。
• 観測された真空エネルギー密度 $\rho_V \sim 10^{-47}\ \text{GeV}^4$ から非可換性スケール $\theta$ を推定し、$\sqrt{\theta} \sim 5 \times 10^{-3}\ \text{cm}$ を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非可換時空は、ディラック磁荷の無限大エネルギー発散を解消するか？
• RQ2 $O(\theta)$ および $O(\theta^2)$ において、ゲージポテンシャル $A$ や場強度 $F$ に非自明な $\theta$-補正があるか？
• RQ3 非可換 $U(1)$ゲージ理論においてゲージ不変性はどのように破れるか？その物理的結果は磁荷力学にどのような影響を及けるか？
• RQ4 非可換時空の構造が、$B$-場からの真空エネルギーを通じて宇宙定数問題と結びつけることができるか？
• RQ5 非可換 $U(1)$ゲージ理論において、't Hooft-Polyakov磁荷に類似した有限エネルギーで拡張された場の配置が存在するか？

主な発見

• $O(\theta)$ および $O(\theta^2)$ において、非自明なゲージポテンシャル $A$ の補正は見つからず、$\theta$-依存のゲージ変換のみが存在する。
• $O(\theta^2)$ においても場強度 $F$ は補正を受けず、ディラック磁荷解 $\vec{B}^0 = g\vec{r}/r^3$ はこの次数まで保存されている。
• エネルギー積分 $\int \left(\frac{1}{r^2} + \frac{1}{r^4}\right)^2 d^3r = \infty$ が非可換性によっても変化しないため、磁荷の質量は無限に保たれる。
• 非可換 $U(1)$ゲージ理論においてゲージ不変性は明示的に破れ、$\delta F \sim \theta_{mn} \partial_m \lambda \partial_n F$ のように現れ、物理的解釈を複雑にする。
• 宇宙定数から $\theta$ を推定すると $\sqrt{\theta} \sim 5.0 \times 10^{-3}\ \text{cm}$ が得られ、実験的制約と整合しないほど大きい値である。
• この結果は、非可換時空が根本的であるならば、磁荷質量問題を解消しない可能性があり、その物理的実在性についてより深い疑問を呈する。