[論文レビュー] Distance domination, guarding and vertex cover for maximal outerplanar graph

Santiago Canales, Gregorio Hernández Peñalver+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 8, 2013

Advanced Graph Theory Research参考文献 8被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、最大外部平面グラフにおける2距離ガーディング、2距離支配、2距離頂点被覆の概念を導入し、形式化した。また、タイトな境界を確立した。2距離ガーディング数と2距離支配数は、いずれも⌊n/5⌋であり、2距離頂点被覆数は任意のn頂点最大外部平面グラフに対して⌊n/4⌋である。

ABSTRACT

This paper discusses a distance guarding concept on triangulation graphs, which can be associated with distance domination and distance vertex cover. We show how these subjects are interconnected and provide tight bounds for any n-vertex maximal outerplanar graph: the 2d-guarding number, g_{2d}(n) = n/5; the 2d-distance domination number, gamma_{2d}(n) = n/5; and the 2d-distance vertex cover number, beta_{2d}(n) = n/4.

研究の動機と目的

• 三角形分割平面グラフ、特に最大外部平面グラフにおける距離ガーディングの概念を形式化すること。
• 最大外部平面グラフにおける2距離ガーディング、2距離支配、2距離頂点被覆のタイトな組合せ的境界を確立すること。
• このクラスのグラフにおいて、距離ガーディング、距離支配、距離頂点被覆の間の相互作用と同等性を示すこと。
• これらの3つの距離に基づくグラフパラメータに対して、漸近的に最適なタイトな上界と下界を提供すること。

提案手法

• 三角形分割平面グラフの有界な面を2距離で被覆する頂点集合として2dガーディングを形式化する。
• すべての頂点が集合D内のある頂点と距離2以内にあるとき、Dを2d距離支配と定義する。
• すべての辺が集合C内のある頂点と距離2以内にあるとき、Cを2d距離頂点被覆と定義する。
• 内部辺を用いた最大外部平面グラフの構造的分解を用いる。
• 頂点数に関する帰納法を用い、部分グラフにおける外部辺の数に基づく場合分けを分析する。
• 特に、分離辺によって形成される五角形と三角形の幾何的・組合せ的性質を活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 最大外部平面グラフにおける2距離ガーディング数のタイトな境界は何か？
• RQ2 このクラスのグラフにおいて、2距離支配数と2距離頂点被覆数は2距離ガーディング数とどのように関係しているか？
• RQ3 最大外部平面グラフにおいて、これらの3つの距離に基づくパラメータ（ガーディング、支配、頂点被覆）のタイトな境界を確立できるか？
• RQ4 これらの境界は、最大外部平面グラフを超えた一般の三角形分割グラフへ拡張可能か？
• RQ5 このようなグラフにおいて、これらのパラメータはより高い距離（例：3距離）においてどのように振る舞うか？

主な発見

• 任意のn頂点最大外部平面グラフの2dガーディング数は正確に⌊n/5⌋である。
• 任意のn頂点最大外部平面グラフの2d距離支配数は正確に⌊n/5⌋である。
• 任意のn頂点最大外部平面グラフの2d距離頂点被覆数は正確に⌊n/4⌋である。
• 2d距離頂点被覆の上界⌊n/4⌋はタイトであり、各太線が別個のガーディングを必要とする構成によって示された。
• 2dガーディングと2d距離支配の境界もタイトであり、⌊n/5⌋の下界に達する構成が存在する。
• これらの結果は、特に最大外部平面グラフにおいて、これらの3つの概念が三角形分割グラフにおいて深く関連していることを示唆している。